Réponse :
1) a) montrer que la somme des aires des triangles AHG et GDF vaut
6 x - x²
A(ahg) = 1/2)(x*(6 - x)) = 3 x - (1/2) x²
+ A(gdf) = 1/2)(x*(6 - x) = 3 x - (1/2) x²
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A(ahg) + A(gdf) = 3 x + 3 x - (1/2) x² - (1/2) x² = 6 x - x²
b) déterminer en fonction de x, les aires des triangles BHE et ECF
A(bhe) = 1/2)(x *1) = 1/2) x
A(ecf) = 1/2)(5*(6 - x) ) = 15 - (5/2) x
c) en déduire l'aire A(x) du quadrilatère EFGH
A(x) = 36 - (6 x - x² + (1/2) x + 15 - (5/2) x)
= 36 - (- x² + 4 x + 15)
= 36 + x² - 4 x - 15
A(x) = x² - 4 x + 21
2) vérifier que, pour tout x ∈ [0 ; 6] A(x) = (x - 2)² + 17
A(x) = (x-2)²+ 17 = x² - 4 x + 4 + 17 = x² - 4 x + 21 donc c'est vérifiée
3) en utilisant la forme canonique de A(x) résoudre
(a) A(x) = 21 ⇔ (x - 2)² + 17 = 21 ⇔ (x - 2)² + 17 - 21 = 0
⇔ (x - 2)² - 4 = 0 = (x - 2 + 2)(x - 2 - 2) = 0 ⇔ x(x - 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 4
(b) A(x) > 18 ⇔ (x - 2)² + 17 > 18 ⇔ (x - 2)² + 17 - 18 > 0
⇔ (x - 2)² - 1 > 0 ⇔ (x - 2 + 1)(x - 2 - 1) > 0 ⇔ (x - 1)(x - 3) > 0
⇔ x < 1 ou x > 3 ⇔ l'ensemble des solutions est : S = [0 ; 1[U]3 ; 6]
4) pour quelle valeur de x l'aire EFGH est-elle minimale ? Justifier
à partir de la forme canonique de A(x) = (x - 2)² + 17 on peut répondre à la question donc pour x = 2 l'aire de EFGH est minimale et l'aire minimale vaut 17
Explications étape par étape
