un industriel souhaite fabriquer une boite sans couvercle à partir d'une plaque de métal de 18cm de largeur et 24cm de longueur. pour cela, il enlève des carrés dont la longueur du coté mesure "x" cm aux quatre coins de la pièce de métal et relève ensuite verticalement pour fermer les côtés. 1: Exprimer le volume de la boite en fonction de "x" 2: Etudier les variations du volume sur l'intervalle [0;9] 3: pour quelle valeur de "x" la contenance de la boite est-elle maximal? (j'ai trouvé x=7) 4; peut il construire ainsi une boîte dont la contenance est supérieure ou égale a 650cm^3? merci d'avance.

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

longueur de la boîte=24-2x

largeur de la boîte=18-2x

hauteur=x

Volume = V(x)=x(24-2x)(18-2x)

Tun développes tout seul et à la fin , tu dois trouver :

V(x)=4x³-84x²+432x

2)

Je ne connais pas ton cours . Tu as vu les dérivées ?

V '(x)=12x²-168x+432

V '(x) est  <  0  entre les racines.

On calcule les racines de :

12x²-168x+432 que l'on peut simplifier en divisant par 12 .

Donc on cherche les racines de :

x²-14x+36

Δ=b²-4ac=14²-4*36=52 > 0

x1=(14-√52)/2 ≈ 3.4

x2=(14+√52)/2 ≈ 10.6

Tableau de variation :

x-------------->0........................3.4.....................9

V '(x)-------->............+..............0.............-...............

V(x)--------->...........C..............?...............D..........

C=flèche qui monte

D=flèche qui descend

3)

V est donc max pour x ≈ 3.4 cm

Tu calcules V(3.4) avec ta calculatrice.

V(3.4) ≈ 654.98cm³

4)

En fait une valeur approchée de x est x ≈3.394448..

Et V(3.39)  ≈  654.98 > 650

Réponse : oui , il peut fabriquer une boîte d'un volume ≥ 650 cm³ mais ≤ 654.98 cm³.

Voir courbe de V(x) faite avec un logiciel.

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