Réponse :
Explications étape par étape
1) a)
On note P_n la propriété «u_n >= -3».
* initialisation u_0 =3 est bien sup ou égal à -3. Don P_0 est vraie.
* hérédité : Supposons P_n vraie:
u_n >= -3
On divise des 2 côtés par 3
1/3 u_n >= -3/3
1/3 u_n >= -1
On soustrait 2 de chaque côté
1/3 u_n -2 >= -1 -2
1/3 u_n -2 >= - 3
C'est à dire
u_(n+1) >= -3
P_(n+1) est vraie.
La propriété u_n >= -3 est initialisée pour n=0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout n>=0
1) b)
L'idée est de calculer u_(n+1) - u_n.
....
On doit arriver à
u_(n+1) - u_n = -2 (1/3 u_n + 1)
Et l'inégalité vue au a) sert à montrer que
u_(n+1) - u_n <=0, pour tout n>=0.
Ce qui signifie que la suite (u_n) est décroissante
