Sagot :
Réponse :
déterminer le sens de variation de la suite (Un)
2) Un = (2 n - 1)/n² pour tout entier naturel n non nul
on utilise la méthode Un = f(n)
soit f une fonction définie sur l'intervalle [1 ; + ∞[ et (Un) une suite définie par Un = f(n)
étant donné que Un = f(n) où f(x) = (2 x - 1)/x², étudions les variations de f sur [1 ; + ∞[
f est dérivable sur [1 ; + ∞[ et f '(x) = [2 x² - 2 x(2 x - 1)]/(x²)²
f '(x) = (2 x² - 4 x² + 2 x)/(x²)² = (- 2 x² + 2 x)/(x²)² = 2 x(1 - x²)/x⁴ or x⁴ > 0
et x > 0 donc 2 x > 0 ; donc le signe de f '(x) dépend du signe de 1 - x²
or 1 - x² = (1 - x)(1 + x) on a 1 + x > 0 et x ≥ 1 ⇔ - x ≤ - 1 ⇔ 1 - x ≤ 0
donc f '(x) ≤ 0 sur [1 ; + ∞[ donc f est décroissante sur [1 ; + ∞[ et (Un) est décroissante sur N*
Explications étape par étape
