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Soit n un entier non nul. 1) On note S la somme des n premiers termes de la suite géométrique de raison 5 et de premier terme 1. Calculer S en fonction de n. 2) En déduire que 5^n+15 est un multiple de 4

Pourriez-vous m’aider pour cette exercice svp??

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape

1) La formule dans ce cas c'est

(premier terme)×(raison^(nb. de termes)  -1  ) / ( raison - 1 )

raison = 5

premier terme =1

nb. de tremes = n

Donc S_n = 1 × (  5 ^ n - 1 ) / ( 5 - 1 )

Après simplification,

S_n = (5^n -1)/4

2) L'astuce est d'écrire 5^n+15 = 5^n - 1 + 16 et de diviser de chaque côté par 4

(5^n +15) / 4 = (5^n - 1) /4 + 16 /4

C'est à dire

(5^n +15) / 4 = S _n + 4

D'où

5^n + 15 = 4 × (S_n +4)

Or S_n, comme somme d'entiers, est entière, S_n + 4 aussi

Donc 5^n + 15 est de la forme 4 × k avec k entier, donc

pour tout n >=1, 5^n + 15 est multiple de 4.