Explications étape par étape:
Salut, pour ta question c), tu peux t'aider des premiers termes que tu as calculé pour ta suite. U0 = 0, U1 = (3/4), U2 = (9/8), U3 = 21/16, U4 = 45/32.
Tu constatés que U1 - U0 = (3/4), U2 - U1 = (3/8), donc tu peux déjà conclure qu'elle n'est pas arithmétique.
De même, U2/U1 = 36/24 = 3/2, U3 / U2 = 168 / 144 = 56 / 48 = 7/6. Donc elle n'est pas géométrique.
2b) En général, pour démontrer le caractère géométrique d'une suite, même si en cours, on te rabâche qu'il faut calculer V(n+1) / Vn, ne le fait pas, c'est très calculatoire, et tu galères à trouver la raison. Je te conseille de calculer directement V(n+1), et tu verras que tu obtiendras beaucoup plus facilement la raison.
Vn = Un - (3/2), donc V(n+1) = U(n+1) - (3/2) (par définition de la suite), donc V(n+1) = (1/2)Un + (3/4) - (3/2) = (1/2)Un - (3/4).
Et là, tu vois immédiatement que V(n+1) = (1/2)*Vn, et t'évites de manipuler des fractions indigestes.
Donc Vn est une suite géométrique, de raison 1/2, et de premier V0 = (-3/2) d'où Vn = (-3/2) * (1 / (2^n)).
2c) Tu déduis l'expression de Un en fonction de n, à la fin tu dois avoir Un = (-3/2) * (1/(2^n)) + (3/2) = (3/2) * [1 - (1/(2^n))].
2d) On déduit par l'expression précédente, que U(n+1) - Un = (3/2) * [1 - (1/(2^(n+1))) - 1 + (1/(2^n))] = (3/2) * [(1/(2^n)) - (1/(2^(n+1))] = (3/2) * [1 / 2^(n+1)] > 0. Donc Un est strictement croissante.
3) Nul besoin de conjecturer la limite de la suite Un, en faisant tendre n vers l'infini, (1/2^n) s'annule, donc Un tend vers 3/2.
Je te laisse faire le reste, tu auras juste à la fin :
Sn = Somme de k allant de 0 à n de Vk = (-3/2) * [Somme de k allant de 0 à n de (1/(2^k))] = (-3/2) * [ (1 - (1/2)^(n+1)) / (1-(1/2)] = -3 * [1 - (1/2^(n+1))] = -3 + [3/(2^(n+1)]
S'n = Somme de i allant de 0 à n de Ui = Somme de i allant de 0 à n de [Vk + (3/2)] = [Somme de i allant de 0 à n de Vk] + [Somme de i allant de 0 à n de (3/2)]. La dernière somme vaut (3/2)^(n+1), car on somme n+1 fois le réel 3/2.
Tu as donc S'n = -3 + [3/(2^(n+1))] + (3/2)^(n+1) = -3 + [(3*(1+(3^n)) / (2^(n+1)] = -3 * [1 - [1+(3^n)] / (2^(n+1)]. On peut aussi conclure que S'n tend vers + infini, ce qui est cohérent avec ce qu'on trouvait auparavant.
