Réponse :
[tex]\frac{13}{11}[/tex]∈Q car 13 et 11 sont premiers entre eux.
[tex]\frac{13}{11}[/tex]∉N car le reste de la division euclidienne de 13 par 11 n'est pas égal à 0.
(1-[tex]\sqrt{2}[/tex])²∉Q car sinon on aurait (1-[tex]\sqrt{2}[/tex])² = [tex]\frac{p}{q}[/tex] avec p et q deux entiers naturels premiers entre eux ( on écrit (1-[tex]\sqrt{2}[/tex])² sous forme de fraction irreductible).
Et donc : 1 + 2 -2[tex]\sqrt{2}[/tex] = 3-2[tex]\sqrt{2}[/tex] = [tex]\frac{p}{q}[/tex]
Par suite : [tex]\sqrt{2}[/tex] = (3 - [tex]\frac{p}{q}[/tex] ) ÷ 2 = [tex](\frac{3}{2} - \frac{p}{2q} )[/tex]
On élève au carrée, on obtient 2 = [tex]\frac{9}{4} + \frac{p^{2} }{4q^{2} } - 2* \frac{3}{2} \frac{p}{2q}[/tex]
On réduit au même dénominateur et on multiplie les deux membres par 4, on obtient : 8 = 9 + [tex]\frac{p^{2} }{q^{2} } - \frac{6p}{q}[/tex]
- 1 = [tex]\frac{p^{2} }{q^{2} } - \frac{6p}{q}[/tex] ⇔ - q² = p² - 6pq ⇔ q² = p(6q - p) ⇔ p/q² ⇔ p/q car pet q sont premiers entre eux.
Contradiction avec le choix de p et q qui sont choisis premiers entre eux.
Explications étape par étape
J'ai utilisé le raisonnement par l'absurde et le théorème de Gauss, la définition de la divisibilité et le fait que p ∧ q = 1
