Réponse : Bonjour,
Montrons d'abord que [tex]g \leq m[/tex].
Pour cela, on va comparer leurs carrés.
On a:
[tex]\displaystyle (\sqrt{ab})^{2}=ab\\\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/tex]
On fait la différence des deux carrés trouvés précédemment:
[tex]\displaystyle ab-\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}=\frac{4ab-a^{2}-2ab-b^{2}}{4}=\frac{2ab-a^{2}-b^{2}}{4}=\frac{-(a-b)^{2}}{4}[/tex]
On a [tex]-(a-b)^{2} \leq 0[/tex], comme c'est un carré, et le dénominateur 4 est un nombre positif.
On a donc:
[tex]\displaystyle ab-\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4} \leq 0[/tex]
Et donc:
[tex]\displaystyle ab \leq \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}\\g^{2} \leq m^{2}[/tex]
Et comme g et m sont des nombres positifs, car a et b sont positifs, alors comme la fonction carré est croissante sur [0; +∞[, alors on en déduit que [tex]g \leq m[/tex].
Il faut montrer que [tex]h \leq g[/tex].
Pour cela, on adopte la même stratégie, en comparant leurs carrés:
[tex]\displaystyle \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^{2}=\frac{(2ab)^{2}}{(a+b)^{2}}\\\frac{(2ab)^{2}}{(a+b)^{2}}-(\sqrt{ab})^{2}=\frac{(2ab)^{2}-(\sqrt{ab})^{2}(a+b)^{2}}{(a+b)^{2}}=\frac{(2ab-\sqrt{ab}(a+b))(2ab+\sqrt{ab}(a+b))}{(a+b)^{2}}\\ On \; a \; 2ab+\sqrt{ab}(a+b) \geq 0, \; (a+b)^{2} \geq 0.[/tex]Il faut donc étudier le signe de [tex]2ab-\sqrt{ab}(a+b)[/tex]:
[tex]\displaystyle 2ab-\sqrt{ab}(a+b)=\sqrt{ab}(2\sqrt{ab}-(a+b))\\\sqrt{ab} \geq 0, \; il \; faut \; donc \; etudier \; le \; signe \; de \; 2\sqrt{ab}-(a+b) \\2\sqrt{ab}-(a+b) \leq 2 \left(\frac{a+b}{2}\right)-(a+b)\\ 2\sqrt{ab}-(a+b) \leq 0[/tex]
On a donc que :
[tex]\displaystyle \frac{(2ab)^{2}}{(a+b)^{2}}-(\sqrt{ab})^{2} \leq 0\\ \frac{(2ab)^{2}}{(a+b)^{2}} \leq (\sqrt{ab})^{2}\\ h^{2} \leq g^{2}[/tex]
Comme [tex]h \geq 0[/tex], comme a et b sont strictement positifs, et comme on a dit précédemment, que [tex]g \geq 0[/tex], et que la fonction carré est croissante sur l'intervalle [0; +∞[, on en déduit que [tex]h \leq g[/tex].
On a donc montré que [tex]h \leq g \leq m[/tex].