Réponse :
Explications étape par étape
Un raisonnement par récurrence se fait en trois points.
1)Initialisation P0 :
On remplace dans la formule de gauche [tex]0^{2} =0[/tex]
On remplace dans la formule de droite : [tex]0^{2} =\frac{0(0+1)(2*0+1)}{6}[/tex]
L'égalité est vraie au rang 0.
2)Hérédité : on suppose l'égalité vraie au rang n et on la montre au rang (n+1).
Au rang (n+1), l'égalité s'écrit : [tex]1^{2} +2^{2} +.....+n^{2}+ (n+1)^{2} =\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/tex]
L'hypothèse de récurrence nous donne : [tex]1^{2} +2^{2} +.....+n^{2} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
On a donc : [tex]1^{2} +2^{2} + ....+ n^{2} +(n+1)^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^{2}[/tex]
On réduit au même dénominateur le membre de droite. On trouve le résultat.
3) Conclusion : l'égalité est vraie pour tout n.
Remarque : il faut remplacer n par k.
