Bonsoir,
L'exercice t'invite à calculer la primitive de v(t) pour trouver x(t0)
On a:
[tex]x(t_0) = \int_0^{t_0} v(t)dt = \int_0^{t_0} \frac{mg}{\lambda}(\sin\alpha)\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)dt\\\\= \frac{mg}{\lambda}(\sin\alpha) \int_0^{t_0} \left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)dt \text{ car m, g, } \lambda \text{ et } \alpha \text{ sont constants.}\\\\= \frac{mg}{\lambda}(\sin\alpha) \left(\int_0^{t_0}dt - \int_0^{t_0}e^{-\frac{t}{\tau}}dt\right) \text{ par linearite de l'integrale.}\\\\[/tex]
[tex]=\frac{mg}{\lambda}(\sin\alpha) \left([t]_0^{t_0} - \left[-\tau e^{-\frac{t}{\tau}}\right]_0^{t_0}\right)\\\\= \frac{mg}{\lambda}(\sin\alpha) \left(t_0 - 0 - \left(-\tau e^{-\frac{t_0}{\tau}} + \tau e^{0}\right)\right)\\\\= \frac{mg}{\lambda}(\sin\alpha) \left(t_0 - \left(-\tau e^{-\frac{t_0}{\tau}} + \tau\right)\right)\\\\= \frac{mg}{\lambda}(\sin\alpha) \left(t_0 + \tau e^{-\frac{t_0}{\tau}} - \tau\right)\\\\[/tex]
Finalement, [tex]\boxed{x(t_0) = \frac{mg}{\lambda}(\sin\alpha) \left(t_0 - \tau + \tau e^{-\frac{t_0}{\tau}}\right)}[/tex]
Bonne soirée,
Thomas
