Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1) Limites
a) si x tend vers -1 (avec x>-1) alors x+1 tend vers 0+ et 2ln(x+1) tend vers -oo.
(3x²+4x-1)/(x+1)² tend vers -2/0+ soit -oo
donc g(x) tend vers -oo
b) si x tend vers +oo, 2ln(x+1) tend vers+oo et (3x²+4x-1)/(x+1)² tend vers 3x²/x² soit +3
donc g(x) tend vers+oo.
2)Dérivée
g'(x)=2/(x+1)+[(6x+4)(x+1)²-2(x+1)(3x²+4x-1)]/(x+1)^4
g'(x)=2/(x+1)+[(6x+4)(x+1)-2(3x²+4x-1)]/(x+1)³=2/(x+1)+(2x+6)/(x+1)³
on note que x étant >-1, g'(x) est tjrs >0 ; g(x) est donc croissante sur son Df ]-1; +oo[
Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x -1 alpha +oo
g'(x)..............................+...................................................
g(x) II -oo........croi............0 ......... croi..........................+oo
La droite x=-1 est une asymptote verticale
La fonction g(x) est continue et monotone sur son Df , comme elle varie de -oo à +oo d'après le TVI, g(x)=0 admet une et une seule solution alpha comprise entre 0,1 et 0,2 .(valeur donnée dans l'énoncé)
La déduction est évidente si x<alpha g(x)<0 et si x>alpha g(x)>0
