Bonsoir,
1) X donne le rang d'apparition du second 6, et 0 s'il n'apparaît jamais.
La variable aléatoire X prend donc comme valeurs tous les entiers naturels, sauf 1 (le second 6 ne peut être obtenu au premier lancer) :
[tex]\boxed{X(\Omega)=\mathbb{N} \text{\textbackslash} \{1\}}[/tex]
2) Soit [tex]k \ge 2[/tex].
Pour que le rang d'apparition du second 6 soit k, il faut qu'un 6 soit obtenu au k-ième lancer (événement [tex]A_k[/tex]), et qu'exactement un 6 ait été obtenu avant (événement [tex](Y_{k-1}=1)[/tex]).
Ainsi : [tex](X=k)=(A_k \cap (Y_{k-1}=1))[/tex].
3) Soit [tex]k \ge 2[/tex]. Par la question précédente : [tex]\boxed{\mathbb{P}(X=k)=\mathbb{P}(A_k \cap (Y_{k-1}=1))}[/tex].
Or, les lancers sont indépendants, donc le résultat des k-1 premiers lancers n'affecte pas celui du k-ième, autrement dit, les évévements [tex]A_k[/tex] et [tex](Y_{k-1}=1)[/tex] sont indépendants. (Formellement, il s'agit du lemme des coalitions.)
Ainsi : [tex]\mathbb{P}(A_k\cap (Y_{k-1}=1))=\mathbb{P}(A_k) \times \mathbb{P}(Y_{k-1})[/tex].
Or :
- [tex]A_k[/tex] signifie qu'un 6 est obtenu au rang k : [tex]\mathbb{P}(A_k)=\frac{1}{6}[/tex]
- [tex](Y_{k-1}=1)[/tex] siginifie qu'un seul 6 a été obtenu dans les k-1 premiers lancers : on choisit l'indice du lancer pour lequel on obtient 6 (entre 1 et k-1, d'où k-1 possibilités), et on lui affecte 6 (proba 1/6); puis on choisit n'importe quel nombre autre que 6 pour les k-2 lancers restants (soit [tex](\frac{5}{6})^{k-2}[/tex]).
Ainsi : [tex]\mathbb{P}(Y_{k-1}=1)=(k-1) \times \frac{1}{6} \times (\frac{5}{6})^{k-2}=\frac{k-1}{6}(\frac{5}{6})^{k-2}[/tex].
Finalement : [tex]\mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{6} \times \frac{k-1}{6}(\frac{5}{6})^{k-2}[/tex]
[tex]\boxed{\mathbb{P}(X=k)=\frac{k-1}{36}(\frac{5}{6})^{k-2}}[/tex]
4) On a : [tex]\sum_{k \in X(\Omega)} \mathbb{P}(X=k)=1 \iff \sum_{k \ge 2} \mathbb{P}(X=k)=1- \mathbb{P}(X=0)[/tex].
Or : [tex]\sum_{k \ge 2} \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{36}\sum_{k \ge 2} (k-1)(\frac{5}{6})^{k-2}[/tex].
Soit [tex]f:x \mapsto \sum_{k \ge 1}x^k=\frac{x}{1-x}[/tex]. f est une série entière de rayon 1, donc est dérivable, pour [tex]0 \le x <1[/tex] et :
[tex]f'(x)=\sum_{k \ge 1} kx^{k-1}=\sum_{k \ge 2} (k-1)x^{k-2}=\frac{1}{(1-x)^2}[/tex]
donc, avec x=5/6<1:
[tex]\sum_{k \ge 2}(k-1)(\frac{5}{6})^{k-2}=36[/tex]
d'où : [tex]\sum_{k \ge 2} \mathbb{P}(X=k)=1[/tex] puis [tex]\boxed{\mathbb{P}(X=0)=0}[/tex].
