Bonsoir,
On pose [tex]f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\sin(x)-1}{\ln(1+x)}[/tex].
1) C'est du cours :
[tex]\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\underset{x \to 0}{\text{o}}(x^2)[/tex]
[tex]\sin(x)=x+\underset{x \to 0}{\text{o}}(x^2)[/tex]
[tex]\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\underset{x \to 0}{\text{o}}(x^2)[/tex].
2) f est définie en tout point pour lequel le dénominateur existe et est non nul, c'est-à-dire pour [tex]x\in ]-1,+\infty[[/tex] (pour que le ln soit défini) et [tex]x \not =0[/tex] (pour que le ln soit non nul).
3) On utilise les DL précédents (l'ordre qui me paraît logique est celui de l'énoncé : 2).
On a :
[tex]f(x)=\frac{(1+x+\frac{x^2}{2})-x-1+\underset{x \to 0}{\text{o}}(x^2)}{x-\frac{x^2}{2}+\underset{x \to 0}{\text{o}}(x^2)}=\frac{x}{2}\frac{1+\underset{x \to 0}{\text{o}}(1)}{1-\frac{x}{2}+\underset{x \to 0}{\text{o}}(x)}=\frac{x}{2}\Big(1+\underset{x \to 0}{\text{o}}(1) \Big)\Big(1+\frac{x}{2}+\underset{x \to 0}{\text{o}}(x) \Big)=\underset{x \to 0}{\text{o}}(1)[/tex]
donc [tex]f(x) \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0[/tex].
(On aurait pu faire les DL simplement à l'ordre 1 :
[tex]f(x)=\frac{1+x-x-1+o(x)}{x}=o(1)[/tex].)
