Explications étape par étape:
Salut, plusieurs méthodes possibles. En voici une : Considérons le polynôme P(x) = (x+1)^n.
Alors en vertu du binôme de Newton, on peut écrire : P(x) = [Somme de k = 0 à n de (k parmi n) * x^k].
En dérivant, on obtient P'(x) = n*(x+1)^(n-1) = [Somme de k = 1 à n de (k parmi n) * k * x^(k-1)]. (un terme étant une constante, il s'annule).
En remplaçant x par 1, on obtient S1 = [Somme de k = 1 à n de (k parmi n) * k] = n*2^(n-1).
On derive une dernière fois :
P''(x) = n(n-1)*(x+1)^(n-2) = S2 = [Somme de k = 2 à n de (k parmi n) * k(k-1) * x^(k-2)]. On découpe la somme en 2 :
S2 = [Somme de k = 2 à n de (k parmi n) * (k^2 - k) * x^(k-2) = [Somme de k = 2 à n (k parmi n) * k^2] - [Somme de k = 2 à n (k parmi n) * k].
Cette dernière somme vaut, par la somme S1 calculée auparavant, n*2^(n-1) - n = n*[2^(n-1) - 1].
Finalement : [Somme de k = 2 à n (k parmi n) * k^2] = P''(1) + n*[2^(n-1) - 1] = n(n-1)*2^(n-2) + n*[2^(n-1) - 1] = (1/2) * n(n-1) * 2^(n-1) + n*2^(n-1) - n = (1/2)*n(n+1)*2^(n-1) - n sauf erreur.
