Explications étape par étape:
Bonsoir, récurrence classique, il te faut connaître la méthode pour construire une récurrence. On va vérifier que notre propriété est vraie au 1er rang, puis à tous les rangs suivants. Pour cela, on applique la méthode "domino" (qu'on appelle récurrence), on fait tomber le 1er, et tous les autres tombent les uns après les autres.
1re phase : On initialise. Au 1er rang n = 1, on a f(1) = q / (1-q^2) et g(1) = [q-q^2] / [(1-q)(1-q^2)] = q/(1-q^2) après simplification, donc f(1) = g(1). Propriété validée pour n = 1.
2e phase : On vérifie l'hérédité. On suppose que la propriété est vraie pour tous les entiers naturels n € N*, et on montre qu'elle l'est aussi au rang n+1. Ainsi, peu importe l'entier n choisi, le suivant validera la propriété, et comme on aura vérifié le rang n = 1 auparavant, le rang 2, 3, 4 etc seront eux aussi validés, la propriété sera alors démontrée.
Soit n € N*, supposons la propriété vraie, que f(n) = g(n), prouvons alors que f(n+1) = g(n+1).
f(n+1) = f(n) + q^(2^n) / [(1-q^(2^(n+1)))]. Or, par hypothèse, f(n) = g(n) donc f(n+1) = g(n) + q^(2^n) / [(1-q^(2^(n+1)))]. Or, (1-q^(2^(n+1))) = [1-q^(2^n)]*[1+q^(2^n)] donc en réduisant au même dénominateur, il s'ensuit :
f(n+1) = [q-q^(2^n)] * [1+q^(2^n)] + q^(2^n)*(1-q) / [(1-q)(1-q^(2^n))(1+q^(2^n)] = [q-q^(2^(n+1))] / [(1-q)*(1-q^(2^(n+1))] = g(n+1) en réutilisant la décomposition vue au dessus.
