Réponse :
133)
1) combien aura-t-il dans son porte monnaie le 2 janvier au matin
au 1 er janvier 2019 au matin: il a 40 € dans son porte monnaie
au cours de la journée du 1er janvier 2019, il dépense le quart
soit 40/4 = 10 € donc il lui reste dans son porte monnaie 30 €
le soir il ajoute à son porte monnaie 30 + 25 = 55 €
2) donner les valeurs de U0 ; U1 et U2
U0 = 40
U1 = 55 = 30 + 25
U2 = (55/4 = 13.75 et 55 - 13.75 = 41.25 et 41.25 + 25 = 66.25)
donc U2 = 66.25 = 41.25 + 25
3) la suite (Un) est - elle arithmétique ? géométrique ?
(U1 - 25)/U0 = 30/40 = 0.75
(U2 - 25)/(U1 - 25) = 41.25/30 = 0.75
donc (U1 - 25)/U0 = (U2 - 25)/(U1 - 5) = .... (Un+1 - 25)/Un = 0.75
donc (Un) est une suite géométrique de premier terme U0 = 40 et de raison q = 0.75
4) justifier que pour tout n ∈ N , Un+1 = 0.75Un + 25
pour tout n ∈ N , on a (U1 - 25)/U0 = (U2 - 25)/(U1 - 5) = .... (Un+1 - 25)/Un = 0.75
donc Un+1 - 25/Un = 0.75 ⇔ Un+1 - 25 = 0.75Un ⇔ Un+1 = 0.75Un + 25
5) soit (Vn) une suite définie pour tout n de N par Vn = Un - 100
a) démontrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 0.75
Vn+1/Vn = Un+1 - 100)/(Un - 100) = 0.75Un + 25 - 100)/(Un - 100)
= 0.75Un - 75)/(Un - 100) = 0.75(Un - 100)/(Un - 100) = 0.75
b) déterminer la valeur de V0
Vn = Un - 100 ; V0 = U0 - 100 = 40 - 100 = - 60
c) en déduire l'expression de Vn en fonction de n
Vn = V0 x q^n = - 60 x (0.75)ⁿ
d) Vn = Un - 100 donc Un = Vn + 100 ; Un = - 60 x (0.75)ⁿ + 100
e) U15 = - 60 x (0.75)¹⁵ + 100 ≈ 99.2 €
Explications étape par étape
