Bonsoir,
On a:
[tex]El_x f(x) = \frac{d(\ln f(x))}{d(\ln x)} = \frac{xf'(x)}{f(x)}[/tex]
Posons la fonction [tex]f: x\mapsto \frac{5}{(x^2-4x)^2}[/tex] dérivable sur [tex]\mathbb{R} \text{ \textbackslash } \left\{0; 4\right\}[/tex] car le dénominateur s'annule en x = 0 et en x = 4 (Trouvé en calculant le discriminant du polynôme x² - 4x qui est 16 puis le calcul des deux racines x1 = (4-racine(16))/2 et x2 = (4+racine(16))/2 ) et on a [tex]\forall x \in \mathbb{R} \text{ \textbackslash } \{0;4\}[/tex]:
[tex]f'(x) = -\frac{5\cdot2\cdot(2x - 4)(x^2 - 4x)}{(x^2-4x)^4} = -\frac{10\cdot(2x - 4)}{(x^2-4x)^3} = -\frac{20\cdot(x - 2)}{(x^2-4x)^3}[/tex]
J'ai utilisé les formules:
[tex]\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\\\\u^n = nu'u^{n-1}[/tex]
Donc on a pour tout [tex]x \in \mathbb{R} \text{ \textbackslash } \left\{0; 4\right\}[/tex]:
[tex]El_x = \frac{-x\frac{20(x-2)}{(x^2-4x)^3}}{\frac{5}{(x^2-4x)^2}} = \frac{-20x(x-2)}{(x^2-4x)^3} \cdot \frac{(x^2-4x)^2}{5} = \frac{-4x(x-2)}{x^2-4x}\\\\\boxed{El_x = \frac{-2x(2x-4)}{x^2 - 4x}}[/tex]
Bonne soirée,
Thomas
