Réponse :
a) exprimer les coordonnées du point D en fonction de k
vec(AC) ≠ vec(0), donc il existe un nombre k tel que
vec(AD) = k x vec(AC)
soit D(x ; y)
vec(AD) = (x + 2 ; y - 3)
vec(AC) = (2+2 ; - 5 - 3) = (4 ; - 8) ⇒ k x vec(AC) = k(4 ; - 8) = (4k ; - 8 k)
⇔ (x + 2 ; y - 3) = (4k ; - 8 k) ⇔ x + 2 = 4 k ⇔ x = 4 k - 2
et y - 3 = - 8 k ⇔ y = - 8 k + 3
les coordonnées du point D sont : (4 k - 2 ; - 8 k + 3)
b) déterminer k, puis calculer les coordonnées du point D
0 ≤ k ≤ 1 donc k = 3/4 = 0.75
donc les coordonnées de D sont: D(1 ; - 3)
c) calculer les coordonnées du point H
soit H l'orthocentre du triangle ABC
le produit scalaire vec(BH).vec(AC) = 0 ⇔ XX' + YY' = 0
vec(BH) = (x - 7; y)
vec(AC) = (4 ; - 8)
⇔ (x - 7)*4 + y*(-8) = 0 ⇔ 4 x - 28 - 8 y = 0 ⇔ 4 x - 8 y - 28 = 0
vec(AH).vec(BC) = 0 ⇔ XX'+YY' = 0
vec(AH) = (x + 2 ; y - 3)
vec(BC) = (2- 7 ; -5) = (-5 ; -5)
⇔ (x + 2)*-5 + (y - 3)*-5 = 0 ⇔ -5 x - 10 - 5 y + 15 = 0 ⇔ -5 x - 5 y + 5 = 0
on obtient un système
{ 4 x - 8 y - 28 = 0 ⇔ x - 2 y - 7 = 0
{ - 5 x - 5 y + 5 = 0 ⇔ -x - y + 1 = 0
.............................
0 x - 3 y - 6 = 0 ⇔ y = 6/3 = - 2
x - 2(- 2) - 7 = 0 ⇔ x = 3
les coordonnées de H sont : (3 ; - 2)
c'est trop long vous faite le reste
indice pour trouver les coordonnées de E et F ; il suffit de trouver les coordonnées de E en utilisant le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux ; vec(AH).vec(BC) = 0 et vec(HE).vec(BC) = 0 voir la méthode ci-dessus
Explications étape par étape