Bonjour,
2) On peut montrer l'injectivité en même temps que la surjectivité.
La surjectivité se montre en prenant deux éléments [tex](a,b) \in \mathbb{R}^2[/tex] et en montrant qu'ils admettent (au moins !) un antécédent par f.
On aura l'injectivité si on prouve que cet antécédent est unique.
On cherche donc [tex](x,y) \in \mathbb{R}^2[/tex] tels que :
[tex]f((x,y))=(a,b) \iff \left \{ {{2x+3y=a} \atop {x+my=b}} \right. \iff \left \{ {{2x+3y=a} \atop {(m-\frac{3}{2})y=b-\frac{a}{2}} \right.[/tex]
Si [tex]m=\frac{3}{2}[/tex] il n'y a pas de solution si [tex]b-\frac{a}{2} \not =0[/tex] et une infinité sinon puisque y est alors quelconque.
Mais si [tex]m \not =\frac{3}{2}[/tex] alors le système possède une unique solution (système de Cramer).
Ainsi, f est bijective ssi [tex]\boxed{m\not =\frac{3}{2}}[/tex].
3) Sa réciproque est alors obtenue en résolvant le système : [tex]f^{-1} : (a,b) \mapsto (\frac{1}{2}(a-3\frac{2b-a}{2m-3}),\frac{2b-a}{2m-3})[/tex].
On peut vérifier [tex]f \circ f^{-1}=id[/tex] et [tex]f^{-1} \circ f=id[/tex].
