Réponse :
Bon, on a déjà un couple de solutions : (-1, -6), merci au camarade qui l'a trouvé.
Notre équation s'écrira donc :
(x^3 +1) -4 (y+6) = 0.
On peut se payer le luxe de factoriser x^3 +1 :
(x+1)(x²-x+1) = 4 (y+6)
A présent, passons aux choses sérieuses ! Il suffit de trouver les valeurs de x, les valeurs de y s'en déduisent facilement.
Déjà, on sait que 4 divise le produit (x+1)(x²-x+1). Or x²-x+1 est impair (car x² est congru à x modulo 2), donc premier avec 4. Ce qui veut dire que 4 divise x+1.
Et de fait on aura y+6 qui vaudra 1/4 (x+1)(x²-x+1).
Arrêtons là l'analyse et faisons une synthèse.
Maintenant soit n un entier naturel, posons x = 4n-1 et y tel que y+6 = 1/4 (x+1)(x²-x+1).
y est bien entier (puisque 4 divise x+1), et si on fait le calcul,
x^3-4y = x^3 - 4 [1/4 (x+1)(x²-x+1) -6] = x^3 -(x^3+1) +24 = 23.
Donc les solutions sont les couples (x, y) tels que x est congru à -1 modulo 4 et y vaut (x^3-23)/4 (qui est bien entier).
Explications étape par étape
