Réponse :
Bonjour :)
Explications étape par étape
a) Voir courbe
b) On sépare l'intégrale en deux (on a le droit) pour pouvoir utiliser les expressions qu'on nous a donné:
[tex]\int\limits^1_3 {g(x)} \, dx =\int\limits^0_3 {g(x)} \, dx +\int\limits^1_0 {g(x)} \, dx[/tex]
(mes "3" en dessous sont des "-3", je n'ai pas réussi à caler le signe "-")
On peut utiliser les expressions de g(x) pour chacun des intervalles considérés:
[tex]\int\limits^1_3 {g(x)} \, dx =\int\limits^0_3 {x+3} \, dx +\int\limits^1_0 {-2x+3} \, dx[/tex]
Pour la première intégrale, la fonction G1(x)=x²/2+3x est une primitive de g, et la fonction G2(x)= -x²+3x est une primitive pour la deuxième équation
On a alors:
[tex]\int\limits^1_3 {g(x)} \, dx = [G1(x)]\left \{ {{0} \atop {-3}} \right. +[G2(x)]\left \{ {{1} \atop {0}} \right.\\[/tex]
(encore une fois je n'ai pas trouvé de façon d'écrire ça proprement, j'espère que c'est compréhensible)
[tex]\int\limits^1_3 {x} \, dx = G1(0)-G1(-3) + G2(1)-G2(0) = (-3*-3)/2+3*(-3) + -(1*1)+3*1 \\[/tex][tex]\int\limits^1_3 {g(x)} \, dx =4,5-9-1+3= -2,5[/tex]
4)a) Déjà F est bien définie et dérivable sur I.
Pour tout x appartenant à I:
F'(x)= (6x*(x+4) - 1 * ( 3x²)) /(x+4)² = (3x² - 24x) / (x+4)² = f(x)
Pour rappel : (u/v)'=(u'v-v'u)/v2
Donc F est bien une primitive de f sur I.
b)
[tex]\int\limits^4_2 {f(x)} \, dx = [F(x)]\left \{ 4 \atop {2}} \right. \\ = F(4) - F(2) \\= (3*(4*4))/(4+4) - (3*2*2)/(2+4)\\=6-2 = 4[/tex]
