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Sagot :

LOULAKAR

Réponse :

Explications étape par étape

Bonsoir

1) développer :

2(x - 1/2)(x + 3)(x - 2)

= (2x - 1)(x^2 - 2x + 3x - 6)

= (2x - 1)(x^2 + x - 6)

= 2x^3 + 2x^2 - 12x - x^2 - x + 6

= 2x^3 + x^2 - 13x + 6

2) p(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6

a) calculer p(-2) :

P(-2) = 2 * (-2)^3 - 3 * (-2)^2 - 11 * (-2) + 6

P(-2) = 2 * (-8) - 3 * 4 + 22 + 6

P(-2) = -16 - 12 + 28

P(-2) = -28 + 28

P(-2) = 0

Donc (-2) est racine du polynôme

b) déterminer à, b et c pour p(x) = (x + 2)(ax^2 + bx + c)

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 2ax^2 + 2bx + 2c

P(x) = ax^3 + (2a + b)x^2 + (2b + c)x + 2c

a = 2

2a + b = -3 => b = -3 - 2 * 2 = -3 - 4 = -7

2b + c = -11 => c = -11 + 2 * 7 = 3

2c = 6 => c = 6/2 = 3

P(x) = (x + 2)(2x^2 - 7x + 3)

c) résoudre p(x) = 0

x + 2 = 0 ou 2x^2 - 7x + 3 = 0

[tex]\Delta = (-7)^{2} - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25[/tex]

[tex]\sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5[/tex]

X1 = (7 - 5)/(2 * 2) = 2/4 = 1/2

X2 = (7 + 5)/4 = 12/4 = 3

x + 2 = 0 ou (x - 3)(x - 1/2) = 0

x = -2 ou x = 3 ou x = 1/2

Factoriser p(x) :

P(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 1/2)

Résoudre p(x) << 0 (avec << inférieur ou égal)

x .........|-inf.......(-2).......1/2........3..........+inf

x+2.....|.......(-)......o...(+).......(+).......(+).........

x - 3....|.......(-)............(-).......(-)....o....(+)......

x - 1/2.|.......(-)............(-)...o...(+)........(+).......

Ineq....|.......(-).....o.....(+).o....(-)..o.....(+).......

[tex]x \in ]-inf ; -2] U [1/2 ; 3][/tex]

3) q(x) = x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15

Calculer q(1) :

Q(1) = 1^4 + 2 * 1^3 - 16 * 1^2 - 2 * 1 + 15

Q(1) = 1 + 2 - 16 - 2 + 15

Q(1) = 18 - 18

Q(1) = 0

Donc 1 est une racine

Résoudre q(x) = 0 :

Q(x) = (x - 1)(ax^3 + bx^2 + cx + d)

Q(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx - ax^3 - bx^2 - cx - d

Q(x) = ax^4 + (b - a)x^3 + (c - b)x^2 + (d - c)x - d

q(x) = x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15

a = 1

b - a = 2 => b = 1 + 2 = 3

c - b = -16 => c = -16 + 3 = -13

d - c = -2 => d = -2 - 13 = -15

-d = 15 => d = 15

Q(x) = (x - 1)(x^3 + 3x^2 - 13x + 15)

Réponse :

1) développer  2(x - 1/2)(x + 3)(x - 2) = 2(x - 1/2)(x² + x - 6)

    (2 x - 1)(x² + x - 6) = 2 x³ + 2 x² - 12 x - x² - x + 6

     =  2 x³ + x² - 13 x + 6  

2) soit  P(x) = 2 x³ - 3 x² - 11 x + 6

  a) calculer  P(- 2) = 2*(-2)³ - 3*(-2)² - 11*(-2) + 6  = - 16 - 12 + 22 + 6

                               = - 28+28 = 0

  b) déterminer a, b  et c pour   P(x) = (x + 2)(a x² + b x + c)

        P(x) = (x + 2)(a x² + b x + c)

               = a x³ + b x² + c x + 2a x² + 2b x  + 2 c

               = a x³  + (b + 2 a) x² + (c + 2 b) x + 2 c

a = 2

b + 2 a = - 3

c + 2 b = - 11  ⇔ 3 + 2 b = - 11  ⇔ 2 b = - 14  ⇔ b = - 14/2 = - 7

2 c = 6  ⇔ c = 6/2 = 3  

donc  P(x) = (x + 2)(2 x² - 7 x + 3)

c) résoudre dans R,  P(x) = 0

       P(x) = 0  ⇔(x + 2)(2 x² - 7 x + 3) = 0   produit de facteurs nul

   ⇔ x + 2 = 0  ⇔ x = - 2  ou 2 x² - 7 x + 3 = 0

       Δ = 49 - 24 = 25  ⇒ √25 = 5   on a deux solutions distinctes

      x1 = 7+5)/4 = 12/4 = 3

      x2 = 7 - 5)/4 = 1/2

    S = {- 2 ; 1/2 ; 3}

Factoriser P(x)

        P(x) = (x + 2)(2 x² - 7 x + 3)

  2 x² - 7 x + 3 = 2(x - 3)(x - 1/2)

         P(x) = 2(x+2)(x - 3)(x - 1/2) = (x + 2)(x- 3)(2 x - 1)

 Résoudre  P(x) ≤ 0  ⇔ (x+2)(x - 3)(2 x - 1) ≤ 0

            x         - ∞                 - 2                  1/2               3               + ∞

         x+2                    -           0          +                   +               +  

         x-3                     -                        -                    -      0        +          

       2 x- 1                    -                        -          0        +                +    

         P(x)                     -           0          +          0        -       0        +

l'ensemble des solutions de l'inéquation  P(x) ≤ 0 est  S = ]- ∞ ; - 2]U[1/2; 3]            

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