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Bonjour,

Pour faire fonctionner vos petites cellules grises comme dirait Hercule,

Voici la première étape d'un exercice de théorie des nombres.

source: Défi turing Problème 238 : Barrière d'indivisibilite


Pour tout entier positif n,
on définit la fonction F par F(n)=k
où k est le plus petit entier positif tel que n + k n'est pas divisible par k + 1.

Exemples
F(13)=?
13 est divisible par 1,
14 est divisible par 2,
15 est divisible par 3,
16 est divisible par 4,
mais
17 n'EST PAS divisible par 5.

Donc F(13) = 4.

120 est divisible par 1,
mais 121 n'est PAS divisible par 2.

Donc F(120) = 1.

Calculer
1 ) F(2),F(4),F(6),F(122) Que remarque t'on ? Démontrer la conjecture.
2) F(3),F(5),F(9),F(11), F(99) Découvrir une conjecture .
3) F(13),F(25),F(37) ....

Résoudre
F(n)=4 . Combien y a t'il de solutions ? Quelle est la plus petite ?

Merci pour vos recherches.

Nb: un programme informatique serait le bienvenu pour les futures étapes .

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ l' Ami Caylus a déjà posté ce problème !

■ F(nombre pair) = 1 :

   F(2n) = ? ( on prendra n > 1 )

   2n est divisible par 1 ;

   mais (2n+1) n' est pas div par 2

■ F(multiple de 3 IMPAIR) = 2 :

   on prendra (3n) impair

   3n est div par 1 ; (3n+1) pair div par 2 ;

   mais (3n+2) pas div par 3

■ F(13+12n) = 4 :

  13 div par 1 ; 14 div par 2 ; 15 div par 3 ;

  16 div par 4 ; mais 17 pas div par 5

■ F(5+6n) = 2 :

   F(5) = 2 ; F(11) = 2

■ on trouve des "exceptions" :

  F(421) = ?

  421 = 13 + 12x34

  421 div par 1 ; 422 div par 2 ; 423 div par 3 ;

  424 div par 4  ; 425 div par 5 ; 426 div par 6 ;

  427 div par 7 ; mais 428 pas div par 8

  donc F(421) = 7 .

  F(841) = ? ; F(2521) = ? F(27721) = ?

  chercher x tel que F(x) = 5 ou F(x) = 9