Bonsoir ! ;)
Réponse :
Exercice 1 :
a) (2x - 4) (x + 1) - (4x - 8) (2x + 3) = 0
⇔ (2x - 4) (x + 1) - 2 (2x - 4) (2x + 3) = 0
⇒ (2x - 4) [ (x + 1) - 2 (2x + 3) ] = 0
⇒ (2x - 4) [ (x + 1) - 2 * 2x - 2 * 3 ] = 0
⇒ (2x - 4) [ x + 1 - 4x - 6 ] = 0
⇒ (2x - 4) (- 3x - 5) = 0 ( ← ceci est la factorisation ! )
Or, un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si :
2x - 4 = 0 ou - 3x - 5 = 0
⇒ 2x = 4 ou - 3x = 5
⇒ x = 4 / 2 ou x = [tex]-\frac{5}{3}[/tex]
⇒ x = 2 ou x = [tex]-\frac{5}{3}[/tex]
Donc, S = { [tex]-\frac{5}{3}[/tex] ; 2 }.
b) (7x - 4)² - 2 (4 - 7x) (3x + 2) = 0
⇔ (7x - 4) (7x - 4) + 2 (7x - 4) (3x + 2) = 0
⇒ (7x - 4) [ (7x - 4) + 2 (3x + 2) ] = 0
⇒ (7x - 4) [ (7x - 4) + 2 * 3x + 2 * 2 ] = 0
⇒ (7x - 4) [ 7x - 4 + 6x + 4 ] = 0
⇒ (7x - 4) * 13x = 0 ( ← ceci est la factorisation ! )
Or, un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si :
7x - 4 = 0 ou 13x = 0
⇒ 7x = 4 ou x = 0 / 13
⇒ x = [tex]\frac{4}{7}[/tex] ou x = 0
Donc, S = { 0 ; [tex]\frac{4}{7}[/tex] }.
c) 4 (x + 3)² - 9 (x - 1)² = 0
⇔ 2² (x + 3)² - 3² (x - 1)² = 0
( rappel : a² - b² peut se factoriser sous la forme : (a - b) (a + b) ! )
⇒ [ 2 (x + 3) - 3 (x - 1) ] [ 2 (x + 3) + 3 (x - 1) ] = 0
⇒ [ 2 * x + 2 * 3 - 3 * x - 3 * (- 1) ] [ 2 * x + 2 * 3 + 3 * x + 3 * (- 1) ] = 0
⇒ [ 2x + 6 - 3x + 3 ] [ 2x + 6 + 3x - 3 ] = 0
⇒ (- x + 9) (5x + 3) = 0 ( ← ceci est la factorisation ! )
Or, un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si :
- x + 9 = 0 ou 5x + 3 = 0
⇒ - x = - 9 ou 5x = - 3
⇒ x = 9 ou x = [tex]-\frac{3}{5}[/tex]
Donc, S = { [tex]-\frac{3}{5}[/tex] ; 9 }.
d) 4x² = 3
⇔ 4x² - 3 = 0
⇔ (2x)² - ( [tex]\sqrt{3}[/tex] )² = 0
( rappel : a² - b² peut se factoriser sous la forme : (a - b) (a + b) ! )
⇒ ( 2x - [tex]\sqrt{3}[/tex] ) ( 2x + [tex]\sqrt{3}[/tex] ) = 0 ( ← ceci est la factorisation ! )
Or, un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul, c'est-à-dire si :
2x - [tex]\sqrt{3}[/tex] = 0 ou 2x + [tex]\sqrt{3}[/tex] = 0
⇒ 2x = [tex]\sqrt{3}[/tex] ou 2x = [tex]-\sqrt{3}[/tex]
⇒ x = [tex]\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex] ou x = [tex]-\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
Donc, S = { [tex]-\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex] ; [tex]\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex] }.
Exercice 2 :
a) 3x + 5 ≤ 4x - 3
⇒ 3x - 4x ≤ - 3 - 5
⇒ - x ≤ - 8
( comme " - x " est négatif, le sens de l'inégalité va changer ! )
⇒ x ≥ 8
Donc, S = [ 8 : + ∞ [.
b) - 3x + 1 < - 2x + 3
⇒ - 3x + 2x < 3 - 1
⇒ - x < 2
( comme " - x " est négatif, le sens de l'inégalité va changer ! )
⇒ x > - 2
Donc, S = ] - 2 ; + ∞ [.
c) [tex]\frac{-x+3}{2}[/tex] ≥ [tex]\frac{3x-1}{4}[/tex]
⇔ (- x + 3) * 4 ≥ 2 * (3x - 1)
⇒ - x * 4 + 3 * 4 ≥ 2 * 3x + 2 * (- 1)
⇒ - 4x + 12 ≥ 6x - 2
⇒ - 4x - 6x ≥ - 2 - 12
⇒ - 10x ≥ - 14
( comme " - 10x " est négatif, le sens de l'inégalité va changer ! )
⇒ x ≤ - 14 / (- 10)
⇒ x ≤ [tex]\frac{7}{5}[/tex]
Donc, S = ] - ∞ ; [tex]\frac{7}{5}[/tex] ].
d) - 3 (x + 1) + 2 (x - 1) ≤ 4 - x
⇒ - 3 * x - 3 * 1 + 2 * x + 2 * (- 1) ≤ 4 - x
⇒ - 3x - 3 + 2x - 2 ≤ 4 - x
⇒ - x - 5 ≤ 4 - x
⇒ - x + x ≤ 4 + 5
⇒ 0 ≤ 9
Cette affirmation est vraie quelque soit x ∈ R.
Exercice 3 :
a) 2 (4x - 3) + 4 (1 - 2x) = 2 (3x + 7) - 4 (2x + 5)
⇒ 2 * 4x + 2 * (- 3) + 4 * 1 + 4 * (- 2x) = 2 * 3x + 2 * 7 - 4 * 2x - 4 * 5
⇒ 8x - 6 + 4 - 8x = 6x + 14 - 8x - 20
⇒ - 2 = - 2x - 6
⇒ - 2 + 6 = - 2x
⇒ 4 = - 2x
⇒ 4 / (- 2) = x
⇒ x = - 2
Donc, S = { - 2 }.
b) 6 (3x - 1) - 5 (4 - x) = 3 (5x + 6) + 8 (x - 1)
⇒ 6 * 3x + 6 * (- 1) - 5 * 4 - 5 * (- x) = 3 * 5x + 3 * 6 + 8 * x + 8 * (- 1)
⇒ 18x - 6 - 20 + 5x = 15x + 18 + 8x - 8
⇒ 23x - 26 = 23x + 10
⇒ 23x - 23x = 10 + 26
⇒ 0 = 36
Impossible ! Cette équation n'admet aucune solution. Ceci signifie donc que S = ∅.
