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1)
Soit n un entier naturel, développer le produit (n+1)(n+2)
(n + 1)(n + 2) = n² + 2n+ n+ 2 = n² + 3n + 2
en déduire une factorisation de (n² + 3n + 1)² - 1
(n² + 3n + 1)² - 1 = (n² + 3n + 1)² - 1² (différence de deux carrés)
= (n² + 3n + 1 - 1)(n² + 3n + 1 + 1)
= (n² + 3n)(n² + 3n + 2)
on a vu au début que : n² + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2)
= n(n + 3)(n + 1)(n + 2)
= n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
2)
Lorsqu’on augmente de 1 le produit de quatre nombres consécutifs obtient-on un carré parfait ?
soit P le produit de quatre nombres entiers consécutifs
P = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
P + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1
on pose (n + 1)(n + 2) = a (1)
n² + 3n + 2 = a
n² + 3n = a - 2 (2)
P + 1 = n(n + 3) x (n + 1)(n + 2) + 1
= (n² + 3n) x (n + 1)(n + 2) + 1
= (a - 2) x a + 1
= a² - 2a + 1
= (a - 1)²
P + 1 est un carré
