Réponse :
1) exprimer A en fonction de x, puis simplifier cette écriture
A = x² + (4 - x)²
simplifier A = x² + (4 - x)² = x² + 16 - 8 x + x²
donc A = 2 x² - 8 x + 16
2) démontrer que le problème posé revient à résoudre 2 x² - 8 x + 6 ≤ 0
A ≤ 10 cm² ⇔ 2 x² - 8 x + 16 ≤ 10 ⇔ 2 x² - 8 x + 16 - 10 ≤ 0
⇔ 2 x² - 8 x + 6 ≤ 0
3) résoudre graphiquement l'inéquation 2 x² - 8 x + 6 ≤ 0, expliquer votre démarche
2 x² - 8 x + 6 ≤ 0 ⇔ 2(x² - 4 x + 3) ≤ 0 ⇔ 2(x² - 4 x + 4 - 4 + 3) ≤ 0
⇔ 2((x - 2)² - 1) forme canonique donc le sommet de la parabole S(2 ; - 1)
x 0 2 4
A1(x) 6 →→→→→→→→→→→→→ - 1 →→→→→→→→→→→→ 6
décroissante croissante
la parabole coupe l'axe des abscisses en A1(x) = 0
⇔ 2 x² - 8 x + 6 = 0
Δ = 64 - 48 = 16 ⇒ √16 = 4
x1 = 8+4)/4 = 3
x2 = 8-4)/4 = 1
Donc la courbe coupe l'axe des abscisses en x = 1 et x = 3 et l'axe des ordonnées en y = 6
Pour tracer la parabole vous avez tous les éléments
résoudre graphiquement l'inéquation 2 x² - 8 x + 6 ≤ 0 consiste à considérer la courbe située en dessous de l'axe des abscisses
c'est à dire l'ensemble des solutions de l'inéquation : S = [1 ; 3]
4) vérifier que 2 x² - 8 x + 6 = (2 x - 2)(x-3)
2(x² - 4 x + 3) = 2(x² - 4 x + 4 - 4 + 3) = 2((x - 2)² - 1)
= 2((x - 2 + 1)(x - 2 - 1) = 2(x - 1)(x - 3) = (2 x - 2)(x-3)
5) construire le tableau de signe de (2 x - 2)(x-3), puis résoudre
(2 x - 2)(x-3) ≤ 0
x 0 1 3 4
2 x - 2 - 0 + +
x - 3 - - 0 +
P + 0 - 0 +
donc l'ensemble des solutions de l'inéquation (2 x - 2)(x-3) ≤ 0 est:
S = [1 ; 3] on peut aussi l'écrire 1 ≤ x ≤ 3
6) quelles sont les valeurs possibles de x telles que l'aire A est ≤ 10 cm²
les valeurs possibles de x sont ; 1 ≤ x ≤ 3
Explications étape par étape