Réponse :
soit { f (x) = x ln x - x si x > 0
{ f(0) = 0
1) étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0
pour étudier la continuité de f en 0, consiste à étudier la lim f(x)
x→0
pour x > 0 on a; f(x) = x ln x - x
sachant que lim x ln x = 0
x→0
x > 0
donc lim x ln x - x = 0
x→0
or on a, f(0) = 0 donc lim f(x) = f(0) c'est è dire que f est continue en 0
x→0
on a lim f(x) = 0 = f(0), on peut donc étudier la dérivabilité de f en 0
x→0
donc cherchons lim (f(x) - f(0))/(x - 0)
x→0
x > 0
on a, (f(x) - f(0))/(x - 0) = (x ln x - x)/x = x(ln x - 1)/x = ln x - 1
on sait que la lim ln x = - ∞ donc lim (f(x) - f(0))/(x - 0) = - ∞
x→0 x→0
x > 0 x > 0
puisque cette limite n'est pas finie, on en déduit que f n'est pas dérivable en 0
2) étudier les variations de f
calculons f '(x) = ln x + x *1/x - 1 = ln x
x 0 + ∞
f(x) 0 →→→→→→→→→→→→→→ + ∞
croissante
Explications étape par étape
