Réponse :
1) exprimer A en fonction de x, puis simplifier cette écriture
A = x² + (4 - x)²
simplifier cette écriture A = x² + 16 - 8 x + x²
= 2 x² - 8 x + 16
2) démontrer que le problème posé revient à résoudre 2 x² - 8 x + 6 ≤ 0
A ≤ 10 cm² ⇔ 2 x² - 8 x + 16 ≤ 10 ⇔ 2 x² - 8 x + 16 - 10 ≤ 0
⇔ 2 x² - 8 x + 6 ≤ 0
3) résoudre graphiquement l'inéquation 2 x² - 8 x + 6 ≤ 0, expliquer votre démarche
tout d'abord, il faut tracer la parabole A1(x) = 2 x² - 8 x + 6
pour cela il faut procéder ainsi : 2(x² - 4 x + 3) ⇔ 2(x² - 4 x + 4 - 4 + 3)
⇔ 2(x² - 4 x + 4 - 1) ⇔2((x - 2)² - 1) le sommet de la parabole est S(2 ; - 1)
la parabole coupe l'axe des abscisses 2((x - 2)² - 1) = 0
⇔ (x - 2 +1)(x - 2 - 1) = 0 ⇔ (x - 1)(x - 3) = 0 ⇔ x = 1 ; x = 3
x 0 2 4
A1(x) 6→→→→→→→→→→→→→ - 1 →→→→→→→→→→→ 6
décroissante croissante
tu peux tracer la courbe aisément
résoudre graphiquement ⇔ S = [1 ; 3]
4) vérifier que 2 x² - 8 x + 6 = (2 x - 2)(x - 3)
on reprend la forme canonique de A1(x) = 2((x - 2)²- 1)
⇔ 2((x - 2 + 1)(x - 2 - 1) ⇔ 2(x - 1)((x - 3) ⇔ (2 x - 2)(x - 3)
5) construire le tableau de signes du produit (2 x - 2)(x - 3) puis résoudre
2 x² - 8 x + 6 ≤ 0
x 0 1 3 4
2 x - 2 - 0 + +
x - 3 - - 0 +
P + 0 - 0 +
l'ensemble des solutions de l'inéquation est S = [1 ; 3]
6) quelles sont les valeurs possibles de x telles que l'aire A ≤ 10 cm²
les valeurs possibles de x sont comprises entre 1 et 3
on peut écrire 1 ≤ x ≤ 3
Explications étape par étape
