Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = -2x³ sur IR
■ a) supposons : 0 < x1 < x2 :
x2 = x1 + e avec e positif
f(x1) = -2(x1)³
f(x2) = f(x1+e) = -2(x1 + e)³
= -2 [ (x1)³ + 3e(x1)² + 3e²x1 + e³ ]
= f(x1) - 6e(x1)² - 6e²x1 - 2e³ < f(x1)
donc f(x2) < f(x1)
■ b) [ f(x2) - f(x1) ] / (x2 - x1) est donc négative
la fonction f est donc décroissante sur IR+
■ c) tableau de variation et de valeurs sur IR+ :
x --> 0 1 2 3 +∞
varia -> décroissante
f(x) -> 0 -2 -16 -54 -∞
■ d) tableau de variation sur IR :
x --> -∞ 0 +∞
varia -> décroissante
f(x) --> +∞ 0 -∞
■ remarques :
♥ dérivée f ' (x) = -6x² toujours négative ( nulle pour x = 0 )
♥ l' origine du repère (0;0) est Centre de symétrie
car la fonction f est impaire ! ( f(-x) = -f(x) )
