Sagot :
Bonjour !
a) La probabilité d'obtenir 6 est la probabilité de ne pas obtenir les autres :
p(6) = 1 - p(1) - p(2) ... - p(5)
= 1 - 1/7 - 1/7 ... - 1/7
= 1 - 5/7
= 2/7.
b) C'est la probabilité d'obtenir 3 fois 1 ou 3 fois 2 ou 3 fois 3, etc. :
p = p(1)³+p(2)³+p(3)³+p(4)³+p(5)³+p(6)³
= 5 x (1/7)³ + (2/7)³
= 5/7³ + 8/7³
= (5+8)/7³
= 13/7³
= 13/343
c) Pour que la somme de trois chiffres soit égale à 5, ces chiffres doivent être :
[1 et 1 et 3] ou [1 et 2 et 2]
donc il faut faire :
1-1-3
ou 1-3-1
ou 3-1-1
ou 1-2-2
ou 2-1-2
ou 2-2-1
donc p = p(1)xp(1)xp(3)+p(1)xp(3)xp(1)+...
comme p(1)=p(2)=p(3)=1/7 et qu'il y a 6 possibilités avec les dés :
p = 6 x 1/7³ = 6/343.
d) Il faut obtenir 4 fois 6, et 2 fois [pas 6]. Les possibilités sont :
pas 6 - pas 6 - 6 - 6 - 6 - 6
pas 6 - 6 - pas 6 - 6 - 6 - 6
etc.
Il y a 2 parmi 6 possibilités : 15 combinaisons.
Donc p = 15 x (2/7)⁴ x (1-2/7)² = 15 x (16 x 25)/7⁶ = 6000/117649
e) Si on lance le dé n fois, la probabilité d'avoir aucun 6 est :
p = (1-p(6))ⁿ = (5/7)ⁿ
La probabilité d'avoir au moins un 6 est donc
1 - p = 1 - (5/7)ⁿ
On veut donc :
1 - (5/7)^n > 0.99
donc 0.01 > (5/7)ⁿ
ln(0.01) > n ln(5/7)
-> n > ln(0.01)/ln(5/7) ~ 13.7 (car ln(5/7)<0)
Il faut lancer au moins 14 fois le dé.
N'hésite pas si tu as une question :)
Réponse :
Explications étape par étape :
■ a) proba(1;2;3;4;ou5) = 5 * 1/7 = 5/7
donc p(6) = 1 - 5/7 = 2/7
■b) p(1;1;1) par exemple = (1/7)³ = 1/7³ = 1/343
p(6;6;6) = (2/7)³ = 8/343
proba(3 fois même nb) = 5 * 1/343 + 8/343
= 13/343 ≈ 0,0379
■ c) p(1+1+3 ou 1+2+2) = 3 * 1/343 * 2
= 6/343 ≈ 0,0175
p(1+1+1) = 1/343
p(1+1+2) = 3/343
p(1+1+4 ou 1+2+3 ou 2+2+2) = 3/343 + 6/343 + 1/343
= 10/343
p(1+1+5 ou 1+2+4 ou 1+3+3 ou 2+2+3)
= 3/343 + 6/343 + 3/343 + 3/343
= 15/343
p(1+1+6 ou 1+2+5 ou 1+3+4 ou 2+2+4 ou 2+3+3)
= 6/343 + 6/343 + 6/343 + 3/343 + 3/343
= 24/343
p(1+2+6 ou 1+3+5 ou 1+4+4 ou 2+3+4 ou 3+3+3)
= 12/343 + 6/343 + 3/343 + 6/343 + 1/343
= 28/343
p(1+3+6 ou 1+4+5 ou 2+2+6 ou 2+3+5 ou 2+4+4 ou 3+3+4)
= 12/343 + 6/343 + 6/343 + 6/343 + 3/343 + 3/343
= 36/343
p(1+4+6 ou 1+5+5 ou 2+3+6 ou 2+4+5 ou 3+3+5 ou 3+4+4)
= 12/343 + 3/343 + 12/343 + 6/343 + 3/343 + 3/343
= 39/343
p(1+5+6 ou 2+4+6 ou 2+5+5 ou 3+3+6 ou 3+4+5 ou 4+4+4)
= 12/343 + 12/343 + 3/343 + 6/343 + 6/343 + 1/343
= 40/343
p(1+6+6 ou 2+5+6 ou 3+4+6 ou 3+5+5 ou 4+4+5)
= 12/343 + 12/343 + 12/343 + 3/343 + 3/343
= 42/343
p(2+6+6 ou 3+5+6 ou 4+4+6 ou 4+5+5)
= 12/343 + 12/343 + 6/343 + 3/343
= 33/343
p(3+6+6 ou 4+5+6 ou 5+5+5) = 12/343 + 12/343 + 1/343
= 25/343
p(4+6+6 ou 5+5+6) = 12/343 + 6/343 = 18/343
p(5+6+6) = 12/343
p(6+6+6) = 8/343
TOTAL = (1+3+6+10+15+24+28+36+39+40+42+33+25+18+12+8)/343
= 340/343 devrait être égal à 1
( donc j' ai fait un petit oubli quelque part ! )
■ d) p(obtenir 4 fois le 6) = ?
♥ si on lance le dé 3 fois seulement, combien a-t-on de chances d' obtenir 2 fois le 6 ( et une fois une autre face ) ?
p(66a ou 6a6 ou a66) = 3 * (2/7)² * (5/7) = 30/343 ≈ 0,09
♥ si on lance le dé 4 fois, combien a-t-on de chances d' avoir 3 fois le 6 ?
p(666a ou ... ) = 4 * (2/7)³ * (5/7) = 160/2401 ≈ 0,07
♥ si on lance le dé 5 fois, combien a-t-on de chances d' avoir 4 fois le 6 ?
p(6666a ou ... ) = 5 * (2/7)puiss4 * (5/7) = 400/16807 ≈ 0,02
♥ si on lance le dé 6 fois, combien a-t-on de chances d' avoir 4 fois le 6 ?
p(6666aa ou ... ) = 15 * (2/7)puiss4 * (5/7)²
= 6000/117649 ≈ 0,05
■ e) p(jamais le 6) = (5/7)puissance n < 1% = 0,01
donne n Log(5/7) < Log0,01
n > 13,7
il faut donc lancer le dé 14 fois pour que la proba d' obtenir au moins 1 fois le 6 dépasse 99% . ( il faudrait lancer un dé non pipé 26 fois ! )
