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Bonjour tout le monde,

J’ai une question sur la probabilité.

1. Un joueur possède un dé biseauté. La probabilité d’obtenir le nombre 1, respectivement le nombre 2, respectivement le nombre 3, respectivement le nombre 4, respectivement le nombre 5 est exactement 1/7.
a) Démontrer que la probabilité d’obtenir le nombre 6 est exactement 2/7.
b) On jette le dé trois fois. Quelle est la probabilité d’obtenir trois fois le même nombre ?
c) On jette le dé trois fois. Quelle est la probabilité que la somme obtenue des trois lancers est égale à 5?
d) On jette le dé six fois. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement quatre fois le nombre 6?
e) Si la probabilité d’obtenir au moins une fois le nombre 6 doit dépasser 99% combien de fois doit-on lancer le dé?

Merci beaucoup!

Sagot :

SDU61

Bonjour !

a) La probabilité d'obtenir 6 est la probabilité de ne pas obtenir les autres :

p(6) = 1 - p(1) - p(2) ... - p(5)

= 1 - 1/7 - 1/7 ... - 1/7

= 1 - 5/7

= 2/7.

b) C'est la probabilité d'obtenir 3 fois 1 ou 3 fois 2 ou 3 fois 3, etc. :

p = p(1)³+p(2)³+p(3)³+p(4)³+p(5)³+p(6)³

= 5 x (1/7)³ + (2/7)³

= 5/7³ + 8/7³

= (5+8)/7³

= 13/7³

= 13/343

c) Pour que la somme de trois chiffres soit égale à 5, ces chiffres doivent être :

[1 et 1 et 3] ou [1 et 2 et 2]

donc il faut faire :

1-1-3

ou 1-3-1

ou 3-1-1

ou 1-2-2

ou 2-1-2

ou 2-2-1

donc p = p(1)xp(1)xp(3)+p(1)xp(3)xp(1)+...

comme p(1)=p(2)=p(3)=1/7 et qu'il y a 6 possibilités avec les dés :

p = 6 x 1/7³ = 6/343.

d) Il faut obtenir 4 fois 6, et 2 fois [pas 6]. Les possibilités sont :

pas 6 - pas 6 - 6 - 6 - 6 - 6

pas 6 - 6 - pas 6 - 6 - 6 - 6

etc.

Il y a 2 parmi 6 possibilités : 15 combinaisons.

Donc p = 15 x (2/7)⁴ x (1-2/7)² = 15 x (16 x 25)/7⁶ = 6000/117649

e) Si on lance le dé n fois, la probabilité d'avoir aucun 6 est :

p = (1-p(6))ⁿ = (5/7)ⁿ

La probabilité d'avoir au moins un 6 est donc

1 - p = 1 - (5/7)ⁿ

On veut donc :

1 - (5/7)^n > 0.99

donc 0.01 > (5/7)ⁿ

ln(0.01) > n ln(5/7)        

-> n > ln(0.01)/ln(5/7) ~ 13.7            (car ln(5/7)<0)

Il faut lancer au moins 14 fois le dé.

N'hésite pas si tu as une question :)

CROISIERFAMILY

Réponse :

Explications étape par étape :

■ a) proba(1;2;3;4;ou5) = 5 * 1/7 = 5/7

   donc p(6) = 1 - 5/7 = 2/7

■b) p(1;1;1) par exemple = (1/7)³ = 1/7³ = 1/343

  p(6;6;6) = (2/7)³ = 8/343

  proba(3 fois même nb) = 5 * 1/343 + 8/343

                                         = 13/343 ≈ 0,0379

■ c) p(1+1+3 ou 1+2+2) = 3 * 1/343 * 2

                                  = 6/343 ≈ 0,0175

   p(1+1+1) = 1/343

   p(1+1+2) = 3/343

   p(1+1+4 ou 1+2+3 ou 2+2+2) = 3/343 + 6/343 + 1/343

                                                  = 10/343

   p(1+1+5 ou 1+2+4 ou 1+3+3 ou 2+2+3)

     = 3/343 + 6/343 + 3/343 + 3/343

     = 15/343

   p(1+1+6 ou 1+2+5 ou 1+3+4 ou 2+2+4 ou 2+3+3)

      = 6/343 + 6/343 + 6/343 + 3/343 + 3/343

      = 24/343

    p(1+2+6 ou 1+3+5 ou 1+4+4 ou 2+3+4 ou 3+3+3)

      = 12/343 + 6/343 + 3/343 + 6/343 + 1/343

      = 28/343

    p(1+3+6 ou 1+4+5 ou 2+2+6 ou 2+3+5 ou 2+4+4 ou 3+3+4)

      = 12/343 + 6/343 + 6/343 + 6/343 + 3/343 + 3/343

      = 36/343

    p(1+4+6 ou 1+5+5 ou 2+3+6 ou 2+4+5 ou 3+3+5 ou 3+4+4)

      = 12/343 + 3/343 + 12/343 + 6/343 + 3/343 + 3/343

      = 39/343

     p(1+5+6 ou 2+4+6 ou 2+5+5 ou 3+3+6 ou 3+4+5 ou 4+4+4)

       = 12/343 + 12/343 + 3/343 + 6/343 + 6/343 + 1/343

       = 40/343

     p(1+6+6 ou 2+5+6 ou 3+4+6 ou 3+5+5 ou 4+4+5)

       = 12/343 + 12/343 + 12/343 + 3/343 + 3/343

       = 42/343

      p(2+6+6 ou 3+5+6 ou 4+4+6 ou 4+5+5)

        = 12/343 + 12/343 + 6/343 + 3/343

        = 33/343

       p(3+6+6 ou 4+5+6 ou 5+5+5) = 12/343 + 12/343 + 1/343

                                                         = 25/343

       p(4+6+6 ou 5+5+6) = 12/343 + 6/343 = 18/343

       p(5+6+6) = 12/343

       p(6+6+6) = 8/343

        TOTAL = (1+3+6+10+15+24+28+36+39+40+42+33+25+18+12+8)/343

                     = 340/343 devrait être égal à 1

( donc j' ai fait un petit oubli quelque part ! )

■ d) p(obtenir 4 fois le 6) = ?

  ♥ si on lance le dé 3 fois seulement, combien a-t-on de chances d' obtenir  2 fois le 6 ( et une fois une autre face ) ?

       p(66a ou 6a6 ou a66) = 3 * (2/7)² * (5/7) = 30/343 ≈ 0,09

  ♥ si on lance le dé 4 fois, combien a-t-on de chances d' avoir 3 fois le 6 ?

       p(666a ou ... ) = 4 * (2/7)³ * (5/7) = 160/2401 ≈ 0,07

  ♥ si on lance le dé 5 fois, combien a-t-on de chances d' avoir 4 fois le 6 ?

      p(6666a ou ... ) = 5 * (2/7)puiss4 * (5/7) = 400/16807 ≈ 0,02

  ♥ si on lance le dé 6 fois, combien a-t-on de chances d' avoir 4 fois le 6 ?

     p(6666aa ou ... ) = 15 * (2/7)puiss4 * (5/7)²

                                 = 6000/117649 ≈ 0,05

■ e) p(jamais le 6) = (5/7)puissance n < 1% = 0,01

        donne n Log(5/7) < Log0,01

                                   n > 13,7

      il faut donc lancer le dé 14 fois pour que la proba d' obtenir au moins 1 fois le 6 dépasse 99% . ( il faudrait lancer un dé non pipé 26 fois ! )