Bonjour ! ;)
Réponse :
Exercice 1 :
1. a) (1) k (x) = [tex]\frac{-2x+2}{5x-1}[/tex] est définie lorsque 5x - 1 ≠ 0 ( puisqu'en effet, un dénominateur ne peut jamais être nul ). Or, 5x - 1 = 0 si et seulement si x = [tex]\frac{1}{5}[/tex]. Donc, k (x) est définie sur R \ { [tex]\frac{1}{5}[/tex] } et donc en particulier sur I = [ - 10 ; 0 ] ( puisque [tex]\frac{1}{5}[/tex] = 0,2 ∉ I ).
(2) De plus, k (x) est dérivable sur I comme quotient de deux fonctions dérivables et dont le dénominateur ne s'annule pas sur I.
b) Rappel : ( [tex]\frac{u}{v}[/tex] )' = [tex]\frac{u' v - uv'}{v^{2} }[/tex]
k (x) = [tex]\frac{-2x+2}{5x-1}[/tex]
Posons, u = - 2x + 2 ⇒ u ' = - 2
v = 5x - 1 ⇒ v ' = 5
⇒ k ' (x) = [tex]\frac{-2*(5x-1)-[(-2x+2)*5]}{(5x-1)^{2} }[/tex]
⇒ k ' (x) = [tex]\frac{-10x+2-(-10x+10)}{(5x-1)^{2} }[/tex]
⇒ k ' (x) = [tex]\frac{-10x+2+10x-10}{(5x-1)^{2} }[/tex]
⇒ k ' (x) = [tex]\frac{-8}{(5x-1)^{2} }[/tex]
c) Sachant que (5x - 1)² > 0 ( puisqu'en effet, un carré est toujours positif ), on en déduit que k ' (x) est du signe de " - 8 ". Cela signifie donc que k ' (x) est négatif sur R et donc en particulier sur I ( puisque - 8 < 0 ).
Ainsi, la courbe représentative de la fonction k est décroissante sur R et donc en particulier sur I.
