Question 1.
[tex]2 + 3 \times 1 - 5 = 5 - 5 = 0[/tex]
Ainsi, le point A appartient bien à la droite D.
Question 2.
Le vecteur [tex]\left(\begin{array}{ccc}-3\\1\end{array}\right)[/tex] est un vecteur directeur de D, mais aussi un vecteur normal à sa perpendiculaire D'. Donc [tex]D':-3x+y+c=0[/tex].
Or, B appartient à D', donc :
[tex]-3 \times 4 + 2 + c = 0\\c = 10[/tex]
Conclusion : [tex]D':-3x+y+10=0[/tex]
Question 3.
Le point H est le point d'intersection des droites D et D'. Il convient alors de résoudre un système.
[tex]\left \{ {{x+3y-5=0} \atop {-3x+y+10=0}} \right. \\\\\left \{ {{x+3y-5=0} \atop {10y-5=0}} \right. \\\\\left \{ {{x+3y-5=0} \atop {y=0,5}} \right. \\\\\left \{ {{x=-3 \times 0,5 + 5} \atop {y=0,5}} \right. \\\\\left \{ {{x=3,5} \atop {y=0,5}} \right.[/tex]
Ainsi, H a pour coordonnées (3,5 ; 0,5)
Question 4.
a) Il faut calculer la norme du vecteur [tex]\vec{AB} \left[\begin{array}{ccc}4-2\\2-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2\\1\end{array}\right][/tex]
[tex]AB = ||\vec{AB} || = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}[/tex]
Donc le rayon est la moitié de la longueur AB, c'est-à-dire [tex]\dfrac{\sqrt{5} }{2}[/tex].
Coordonnées de [tex]\Omega[/tex] : c'est le milieu du segment [AB]. Donc ses coordonnées sont : [tex](\dfrac{2+4}{2} ; \dfrac{1+2}{2} ) = (3 ; 1,5)[/tex]
b) Équation du cercle :
[tex](x-3)^2 + (y-1,5)^2 = (\dfrac{\sqrt{5} }{2} )^2\\(x-3)^2 + (y-1,5)^2 = \dfrac{5 }{4}[/tex]
c) On remplace [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] par les coordonnées de H dans le membre de gauche et on regarde si le calcul aboutit à [tex]\dfrac{5}{4} = 1,25[/tex].
[tex](3,5-3)^2 + (1,5-0,5)^2 = 0,5^2 + 1^2 = 0,25 + 1 = 1,25[/tex]
Donc le point H appartient au cercle.
Bonne journée !