Réponse :
Partie A - indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier votre réponse
1) (- 1) est racine du polynôme 2 x³ - 3 x² + 4 x - 3
(- 1) est racine du polynôme s'il vérifie 2*(-1)³ - 3*(- 1)² + 4*(-1) - 3 = 0
⇔ - 2 - 3 - 4 - 3 = - 12 ≠ 0 donc (-1) n'est pas racine du polynôme
donc l'affirmation est fausse
2) l'équation x² = - 4 admet une unique solution cette affirmation est fausse car l'équation x² = - 4 n'a pas de solutions dans R et un carré est toujours positif ou nul
3) le nombre de racines distinctes du polynôme P(x) = 3(x - 1)(x - 4)² est 3
cette affirmation est fausse, car le nombre de racines distinctes est composé de deux racines différentes et non d'une seule racine, de plus 3
n'est pas une racine de P(x); les racines distinctes de P(x) sont 1 et 4
Partie B
indiquer la bonne réponse
1) P(x) = - 2 x³ - 4 x² + 2 x + 4
P(1) = - 2 - 4 + 2 + 4 = - 6 + 6 = 0 donc 1 est une solution de P(x)
on écrit P(x) = (x - 1)(a x² + b x + c)
= a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c
= a x³ + (b-a) x² + (c -b) x - c
donc a = - 2 ; b-a = - 4 ; c-b = 2 et c = - 4
on en déduit : a = - 2 ; b = - 2 et c = - 4
P(x) = (x - 1)(- 2 x² - 2 x - 4) ⇔ P(x) = - 2(x - 1)(x² + x + 2)
or x² + x + 2 a pour Δ = 1 - 8 = - 7 < 0 pas de solution, donc P(x) a une seule seule racine x = 1
donc la bonne réponse est a) une unique racine
2) la forme factorisée de Q(x) = 2 x³ + 11 x² - 20 x + 7 est:
il suffit de développer a) ; b) ; c) pour voir celle qui correspond à Q(x)
3) dans R l'ensemble des solutions de l'équation 2 x³ + 11 x² - 20 x + 7 = 0 est :
pour répondre à cette question, il faut utiliser le résultat de la question 2
Explications étape par étape
