Bonsoir ! ;)
Réponse :
1) h (x) = [tex]\frac{x}{2}[/tex] + sin(x)
⇒ h ' (x) = [tex]\frac{1}{2}[/tex] + cos(x)
2) On a h ' (x) = 0
⇔ [tex]\frac{1}{2}[/tex] + cos(x) = 0
⇒ cos(x) = - [tex]\frac{1}{2}[/tex]
⇒ cos(x) = cos ( [tex]\frac{2\pi }{3}[/tex] ) et cos(x) = cos ( [tex]-\frac{2\pi }{3}[/tex] )
⇒ x = [tex]\frac{2\pi }{3}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] et x = [tex]-\frac{2\pi }{3}[/tex] + 2k[tex]\pi[/tex] (avec k ∈ Z)
On en déduit ainsi le tableau de variations : (voir pièce jointe).
3) On peut connaître les variations de h sur R tout entier puisqu'en effet, la fonction cosinus est une fonction 2[tex]\pi[/tex]-périodique : cela signifie qu'il suffit de tracer la fonction cosinus sur un intervalle de longueur 2[tex]\pi[/tex] (par exemple l'intervalle [ - [tex]\pi[/tex] ; [tex]\pi[/tex] ]) puis de compléter le tracé par translation.
