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QUELQU'UN AURAIT UNE IDÉE? Aidez moi svp! Je suis bloquée..Merci d'avance

On considère le point A(3;0) et la droite d d’équation 3x−2y+4=0. On note H le projeté orthogonal du point A sur la droite d.
1. On note h l’abscisse du point H. Écrire l’ordonnée de H en fonction de h.

2. Déterminer la valeur de h en utilisant un produit scalaire.

3. Quelles sont les coordonnées de H ?

4. En déduire la distance du point A à la droite d définie par la longueur AH.

Sagot :

TOMMUS

Question 1.

H est le projeté orthogonal de A sur d, donc H appartient à d. Ainsi, puisque l'abscisse de H est h, on remplace x par h dans l'équation de droite et on détermine l'ordonnée de H, notée [tex]y_H[/tex], en fonction de h.

[tex]3h-2y_H+4=0 \iff 2y_H=3h+4 \iff y_H=1,5h+2[/tex]

Question 2.

Un vecteur directeur de la droite est [tex]\vec{u} \left(\begin{array}{ccc}2\\3\\\end{array}\right)[/tex]. Ce vecteur est orthogonal au vecteur [tex]\vec{AH} \left(\begin{array}{ccc}h-3\\1,5h+2\\\end{array}\right)[/tex] car H est le projeté orthogonal de A sur la droite.

Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si :

[tex]\vec{u} .\vec{AH}=0\\\iff \left(\begin{array}{ccc}2\\3\\\end{array}\right).\left(\begin{array}{ccc}h-3\\1,5h+2\\\end{array}\right)=0\\\iff 2(h-3)+3(1,5h+2)=0\\\iff 2h-6+4,5h+6=0\\\iff 6,5h=0\\\iff h=0[/tex]

Question 3.

Les coordonnées de H sont [tex](h;1,5h+2)=(0;2)[/tex]

Vérifions que H appartienne à la droite :

[tex]3 \times 0 - 2 \times 2 + 4 = -4+4=0[/tex] : H est bien sur la droite.

Question 4.

[tex]\vec{AH} \left(\begin{array}{ccc}-3\\2\\\end{array}\right)[/tex] et [tex]AH = ||\vec{AH}||=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}[/tex]

Voilà !