Bonjour,
1) Déterminons des vecteurs directeurs de (OA) et (BC).
Vecteur directeur de (OA) : [tex]\vec{OA} = \left(\begin{array}{ccc}6-0\\3-0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}6\\3\\\end{array}\right)[/tex]
Vecteur directeur de (BC) : [tex]\vec{BC} = \left(\begin{array}{ccc}5-(-3)\\4-0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}8\\4\\\end{array}\right)[/tex]
Montrons que ces vecteurs sont colinéaires.
[tex]6 \times 4 - 3 \times 8 = 24-24=0[/tex]
Les vecteurs [tex]\vec{OA}[/tex] et [tex]\vec{BC}[/tex] sont colinéaires, donc les droites (OA) et (BC) sont parallèles.
2) Regardons si [tex]\vec{BC}[/tex] et [tex]\vec{BD}[/tex] sont colinéaires. On connait déjà [tex]\vec{BC}[/tex].
[tex]\vec{BD} = \left(\begin{array}{ccc}-1-(-3)\\1-0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}2\\1\\\end{array}\right)[/tex]
On remarque immédiatement que [tex]\vec{BC} = 4\vec{BD}[/tex], ce qui signifie que ces vecteurs sont colinéaires. Donc B, C et D sont alignés.
3) Équation cartésienne de (AB) de la forme : [tex]ax+by+c=0[/tex].
Un vecteur directeur de (AB) : [tex]\vec{AB} = \left(\begin{array}{ccc}-3-6\\0-3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}-9\\-3\\\end{array}\right)[/tex]
Ce vecteur est directeur de (AB), donc [tex]\vec{AB} = \left(\begin{array}{ccc}-9\\-3\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}-b\\a\\\end{array}\right)[/tex], donc [tex]a=-3 ; b=9[/tex].
Donc : [tex]-3x+9y+c=0[/tex]
Déterminons c, sachant que B appartient à cette droite.
[tex]-3\times (-3) + 9 \times 0 + c = 0\\9+c=0\\c=-9[/tex]
Une équation cartésienne de (AB) est alors [tex]-3x+9y-9=0[/tex].
Le point M doit appartenir à (AB), donc doit vérifier : [tex]-3 \times 25 + 9y - 9 = 0[/tex]
Déterminons y.
[tex]-3 \times 25 + 9y - 9 = 0\\\iff -75-9+9y=0\\\iff -84+9y=0\\\iff 9y=84\\\iff y = \dfrac{84}{9} \approx 9,33[/tex]
Donc [tex]y = \dfrac{84}{9}[/tex].
Bonne journée !
