Réponse :
a) On sait que le plan de centre H ne passe pas par le centre de la sphère, or lorsqu'un plan ne passe pas par le centre de la sphère, la droite qui passe par le centre de la sphère et le centre du plan est perpendiculaire au plan de section, donc la droite (OH) est perpendiculaire au plan de section donc (OH) et (MH) sont perpendiculaires.
On connaît donc l'angle HOM = 90-40 = 50°.
On a donc MOH un triangle rectangle en H, donc on peut utiliser le sinus:
sin(HOM) = HM/OM
sin(50) = HM/ 6378 d'où
HM = sin(50) x 6378
= 4885, 83 km (environ)
J'ai aussi utilisé directement le cosinus, avec l'angle OMH. Est-ce juste? Je trouve le même résultat.
b) Calculer la longueur du parallèle de Madrid revient à calculer le périmètre du cercle de centre H:
P= pi x rayon²
= pi ( cos(4° x 6378)²
= 74994054,77 km
La longueur du périmètre de Madrid est d'environ 74994054,77 km.
c) New York est situé à la même latitude que Madrid, donc sur le même parallèle, mais à une longitude de 74°Ouest. On situe New-York par un point Y.
74° -3° = 71° Il y a 71° d'écart: MHY= 71°
On sait que la distance entre ces deux villes est proportionelle à l'angle au centre MHY sur le cercle de rayon H.
Angle 71 360
Longueur de l'arc de cercle d 2 x pi x HM
Donc d= 71 x2xpixHM / 360
= 71 x 2 x pi x cos(40) x 6378 / 360
= 5969,2 hm
La distance entre New York et Madrid est de environ 5969,2 k m.