Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour Petitpoussin,
1)
par construction M se déplace sur le segment AI
or comme I est le milieu de AB et AB = 12
cela veut dire que AI = 6
a l'extrémité gauche, M est confondu avec le point A donc x = 0
a l'extrémité droite, M est confondu avec le point I donc x = 6
de ce fait, x varie entre 0 et 6
2)
MN = AB - AM - NB = 12 -x -x = 12 -2x
le triangle ABC est un triangle équilatéral
donc l angle BAC est 60 degré (= pi/3 en radian)
[tex]MQ / AM = tan(pi/3) = \sqrt{3}[/tex]
donc [tex]MQ = \sqrt{3} * AM[/tex]
or AM = x
donc [tex]MQ = \sqrt{3} \ x[/tex]
3)
l'aire du rectangle MNPQ est sa longueur multipliée par sa largeur donc
[tex]A(x) = MN * MQ = (12-2x)\sqrt{3}x = 12\sqrt{3}x-2\sqrt{3}x^2[/tex]
4)
il suffit de faire les calculs
x A(x)
0 0
1 17.32050808
2 27.71281292
3 31.17691454
4 27.71281292
5 17.32050808
6 0
5)
a)
on a l'impression que la fonction A est d'abord croissante jusqu'à x = 3 et ensuite elle est décroissante
b)
j'imagine que tu connais les dérivées (en fait, peut être pas...)
dans ce cas, A est dérivable et [tex]A'(x) = 12\sqrt{3}-4\sqrt{3}x[/tex]
( A'(x) = 0 ) <=> ( 12 - 4x = 0 ) <=> ( x=3 )
pour tout x de [0;3] A est croissante car A'(x) >= 0
pour tout x de [3;6] A est décroissante car A'(x) <= 0
Si tu ne connais pas les dérivées, tu as du voir en cours les équations du second degré
et tu sais donc que pour A(x) = ax^2+bx+c avec c = 0 [tex]b = 12\sqrt{3}[/tex] , [tex]a = -2\sqrt{3}[/tex]
a est négatif donc A est croissante jusqu'à -b/2a = 12/4=3
et elle est décroissante pour x >= 3
6)
a)
le maximum sur les valeurs calculées en 4) est atteint en x = 3
donc on peut conjecturer que A atteint son maximum quand x = 3
b)
[tex]A(3) = 36\sqrt{3}-18\sqrt{3} = 18\sqrt{3} = 31.17691454[/tex]
[tex]A(3)-A(x) = 18\sqrt(3) - 12\sqrt(3)x + 2\sqrt(3)x^2[/tex]
[tex]A(3)-A(x) = 2\sqrt(3) (9 - 6x + x^2)[/tex]
or donc
[tex]A(3)-A(x) = 2\sqrt(3) (x-3)^2[/tex]
un carré est toujours positif donc A(3)-A(x) >= 0
A(x) <= A(3)
donc l'aire est maximale en x = 3
si jamais tu as apprécié cette réponse tu peux la mettre comme la meilleure :-)
