Réponse : Bonjour,
1) Les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AD}[/tex], sont orthogonaux, donc [tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0[/tex].
2) Comme [tex]\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}[/tex], alors [tex]BE=\frac{1}{2} \times 6=3[/tex].
Comme ABCD est un carré, alors l'angle [tex]\widehat{EAC}=45^{\circ}[/tex].
D'après une formule du produit scalaire:
[tex]\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AE} ||.||\overrightarrow{AC} ||.\cos(\widehat{EAC})=AE \times AC \times \cos(45)\\\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AC}=9 \times 6\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{9 \times 6 \times 2}{2}=\frac{108}{2}=54[/tex]
On trouve [tex]AC=6\sqrt{2}[/tex], en utilisant le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle isocèle ADC.
3) Par le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle isocèle DCB, on obtient que [tex]DB=6\sqrt{2}[/tex], et l'angle [tex]\widehat{CDB}=45^{\circ}[/tex].
On a:
[tex]\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{DB}=DC \times DB \times \cos(\widehat{CDB})=6 \times 6\sqrt{2} \times \cos(45)=6 \times 6\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\\\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{DB}=\frac{6 \times 6 \times 2}{2}=\frac{72}{2}=36[/tex]
4) Comme ABCD est un carré, alors [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex].
D'où: [tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{ED}[/tex]
D'après une formule sur le produit scalaire:
[tex]\displaystyle \overrightarrow{DC}.\overrightarrow{ED}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{ED}||^{2}-||\overrightarrow{DC}||^{2}-||\overrightarrow{ED}||^{2} \right)=\frac{1}{2}\left(EC^{2}-DC^{2}-ED^{2} \right)[/tex]
Il nous faut calculer ED².
Dans le triangle AED rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore:
[tex]ED^{2}=AE^{2}+AD^{2}\\ED^{2}=9^{2}+6^{2}=81+36=117[/tex].
Donc:
[tex]\displaystyle \overrightarrow{DC}.\overrightarrow{ED}=\frac{1}{2}\left(45-36-117\right)=\frac{1}{2}\times (-108)=-54[/tex]
On calcule EC² avec le théorème de Pythagore, dans le triangle CBE rectangle en B.
Finalement:
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{ED}=-54[/tex]
