Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour SpyFox,
Je ne connaissais pas cette partie du programme de Terminale
mais en regardant un cours sur internet je pense avoir compris ce qu il t'est démandé dans cet exercice
1.a.
en 2011 Monsieur X a fait un don
donc [tex]e_0 = 1[/tex] et [tex]e_1 = 0.90[/tex]
b.
il faut compléter les probabilités sur chaque branche
[tex]e_n[/tex] est la probabilité pour avoir [tex]E_n[/tex]
[tex]1-e_n[/tex] est la probabilité pour avoir l'évènement contraire de [tex]E_n[/tex]
Ensuite pour passer de à la probabilité est 0.9
et pour passer de à l'évènement contraire de la probabilité est 1-0.9=0.1
pour la branche du bas
pour passer l'évènement contraire de à la probabilité est 0.4
et pour passer l'évènement contraire de de l'évènement contraire de la probabilité est 1-0.4=0.6
c.
Regardons sur le graphe on a deux moyens d'arriver à [tex]E_{n+1}[/tex]
soit en passant par la branche du haut et ca donne 0.9 * [tex]e_n[/tex]
soit en passant par la branche du bas et ca donne 0.4 * [tex](1-e_n)[/tex]
donc [tex]e_{n+1} = 0.9 e_n + 0.4 ( 1 - e_n) = 0.5 e_n + 0.4[/tex]
2. a.
Nous avons deux états
A = "M. X est donateur"
ou
B = "M. X n'est pas donateur"
pour passer de A à A la proba est 0.9
pour passer de A à B la proba est 0.1
pour passer de B à A la proba est 0.4
pour passer de B à B la proba est 0.6
il faut faire un graphe avec deux noeuds pour A et B et 4 fléches
une qui part de A et va vers B
une qui part de A et va vers A
une qui part de B et va vers A
une qui part de B et va vers B
Tu as du voir des exemples de ce type de graphe dans ton cours
je te l'ai mis en piece jointe
la matrice de transition est donc la matrice 2x2 suivante
0.9 0.1
0.4 0.6
b.
On applique le cours
[tex]P_n = [ e_n 1-e_n][/tex]
[tex]P_{n+1} = P_n M[/tex]
c.
P0 est l'état en 2011
P1 est l'état en 2012
P2 est l'état en 2013
P3 est l'état en 2014
il faut donc calculer P3
or [tex]P_3 = P_0 M^3[/tex] (résultat du cours)
il faut calculer [tex]M^3[/tex] avec la calculatrice
et ensuite faire le produit [tex]P_0 M^3[/tex]
tu peux poster ton résultat dans les commentaires
d.
si on écrit cette équation [tex]P_{n+1} = P_n M[/tex] cela donne pour le premier terme de [tex]P_{n+1}[/tex]
[tex]e_{n+1} = 0.9 e_n + 0.4 ( 1 - e_n)[/tex]
et nous retrouvons l'équation du 1.c
3.a.
l état stable P est tel que P = P x M
ce qui donne
(1) x = 0.9 x + 0.4 y
(2) y = 0.1 x + 0.6 y
(3) x + y = 1
donc 0.1x = 0.4y soit x = 4y
remplaçons dans (3)
4y + y = 1
donc 5y = 1
y = 1/5 = 0.20
et x = 1 - y = 0.80
l'état stable est donc P = [ 0.80 0.20 ]
b. la limite de la suite est donc 0.80
c. cela veut dire que la probabilité que M. X fasse un don se stabilise à 80%
l'association peut être confiante, merci M. X
