Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
1.
BC = 8 cm et N est un point mobile sur le segment [BC] tel que BN = x
si N est confondu avec le point B x = 0
si N est confondu avec le point C x = 8
et comme N est un point mobile entre B et C x varie donc dans l'intervalle [0;8]
2.
AM = x et AB = 10
BM = AB - AM = 10 - x
3.
BC = 8 et BN = x Or
CN = BC - BN = 8 - x
4.
Le triangle BMN est rectangle en B
l'aire du triangle BMN est donc [tex]\dfrac{BN * BM}{2} = \frac{x(10-x)}{2}[/tex]
Développons
l'aire est donc [tex]\frac{10x-x^2}{2}[/tex]
5.
Le triangle CNP est rectangle en C
l'aire du triangle CNP est donc [tex]\dfrac{CN * CP}{2} = \frac{(8 -x)x}{2}[/tex]
Développons
l'aire est donc \frac{8x-x^2)}{2}
l'aire en jaune est donc la somme des deux aires, soit
[tex]\frac{10x-x^2}{2} + \frac{8x-x^2}{2} = \frac{10x-x^2+8x-x^2}{2} = \frac{18x-2x^2}{2} = 9x-x^2[/tex]
6. a.
En appliquant l'identité remarquable suivante
pour tout a et b réels [tex](a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2[/tex]
Nous trouvons
[tex](x-4,5)^2 = x^2 - 9x + 20,25[/tex]
donc [tex]x^2 - 9x = (x-4,5)^2 - 20.25[/tex]
donc
[tex]f(x) = -(x-4,5)^2 + 20,25[/tex]
b.
pour tout x de [0;8]
[tex]20,25 -f(x) = (x-4,5)^2[/tex]
or un carré est toujours positif et ce carré est égal a 0 uniquement pour x-4,5 = 0 soit x = 4,5
donc 20,25 - f(x) >= 0
donc f(x) <= 20,25
et on a égalité uniquement en x = 4,5
donc l'aire est maximale pour x = 4,5
