Réponse :
2) h(x) = - (x - 1)² + 9
a) on considère deux réels u et v de [1 ; + ∞[ tels que 1 ≤ u ≤ v
montrer que la différence h(u) - h(v) s'écrit h(u) - h(v) = (v-u)(v-1+u-1)
h(u) = - (u - 1)² + 9
h(v) = - (v - 1)² + 9
...........................................
h(u) - h(v) = - (u - 1)² + 9 - (-(v - 1)² + 9)
= - (u - 1)² + 9 + (v - 1)² - 9
= (v - 1)² - (u - 1)² = (v - 1 + u - 1)(v - 1 - u + 1) = (v - u)(v - 1 + u - 1)
donc h(u) - h(v) = (v - u)(v - 1 + u - 1)
b) en étudiant le signe de la différence h(u) - h(v), établir le sens de variation sur [1 ; + ∞[
h(u) - h(v) = (v - u)(v - 1 + u - 1) or u ≤ v ⇔ v ≥ u ⇔ v - u ≥ 0
u ≥ 1
v ≥ 1
..............
u + v ≥ 2 ⇔ u + v - 2 ≥ 0 donc h(u) - h(v) ≥ 0
puisque u ≤ v ⇒ h(u) - h(v) ≥ 0 ⇔ h(u) ≥ h(v) donc la fonction h est décroissante sur [1 ; + ∞[
x 1 + ∞
f(x) 9 →→→→→→→→→→→→→ - ∞
décroissante
Explications étape par étape
