Réponse :
Si n est pair, n=2k avec k un entier naturel et
n(n² + 3) = 2k((2k)²+3) = 2k(4k² + 3) = 2N avec N=k(4k²+3).
Donc n(n²+3) est pair si n est pair.
Si n est impair, n=2k+1 avec k un entier naturel et
n(n²+ 3) = (2k+1)((2k+1)² + 3) = (2k+1)(4k²+2k+1+3) = (2k+1)(4k²+2k+4) = (2k+1)(2 x 2k² + 2 x k + 2 x 2) = 2(2k+1)(2k²+k+2) = 2N avec N = (2k+1)(2k²+k+2).
Donc n(n²+3) est pair si n est impair.
Conclusion : pour tout entier naturel n, n(n² + 3) est pair.
