Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
Nous allons démontrer par récurrence la proposition suivante
pour tout n entier [tex]2 <= u_n <= 4[/tex]
1. Montrons que cela est vrai au rang n = 0
[tex]u_0 =2[/tex] donc la proposition est vraie au rang 0
2. Supposons que la proposition est vraie au rang n
à savoir que 2 <= [tex]u_n[/tex] <= 4
que dire de [tex]u_{n+1}[/tex]?
Comme la fonction ln est croissante sur son domaine définition
et en utilisant l'hypothèse de récurrence
[tex]ln(u_n) <= ln(4) <= 2[/tex]
donc [tex]ln(u_n) + 2 <= 4[/tex]
donc [tex]u_{n+1} <= 4[/tex]
or [tex]ln(u_n) >= 0[/tex] car [tex]u_n >= 2[/tex]
donc [tex]u_{n+1} = ln(u_n) + 2 >= 2[/tex]
donc [tex]2 <= u_{n+1} <= 4[/tex]
3. Nous venons donc démontrer que la proposition est vraie pour tout n entier
Pour tout n entier
[tex]0 < 2 <= u_n <= 4[/tex]
