1) En étudiant le graphe de f, on s'aperçoit que f est strictement croissante sur [0,1] et strictement décroissante sur [tex][1, \sqrt{5}][/tex]. On va le prouver.
2) f est dérivable sur [tex]]0, \sqrt{5}][/tex] et, pour [tex]x \in ]0, \sqrt{5}][/tex] :
[tex]f'(x)=-2x \sqrt{x}+\frac{5-x^2}{2\sqrt{x}}=\frac{-5(x^2-1)}{2\sqrt{x}}[/tex]
Sur [tex]]0, \sqrt{5}][/tex], [tex]\sqrt{x} >0[/tex] et [tex](x^2-1)[/tex] négative puis positive (s'annule en 1).
Ainsi, on obtient le tableau :
x [tex]-\infty[/tex] 1 [tex]+\infty[/tex]
f'(x) + -
f(x) 0 croît 4 décroît 0
3) Par le tableau de variations, pour [tex]x \in [0, \sqrt{5}][/tex] : [tex]0 \le f(x) \le 4[/tex].
