La fonction cos est bornée sur R : [tex]|cos| \le 1[/tex].
Donc :
[tex]0 \le |\frac{x^2-3x\cos x-5}{5x^3-3x^2 \sin x-3x-7}\cos(e^x-3x^2)| \le |\frac{x^2-3x\cos x-5}{5x^3-3x^2 \sin x-3x-7}|[/tex]
Or le terme de droite tend vers 0 en [tex]+ \infty[/tex] car x^2 en haut et x^3 en bas :
[tex]\frac{x^2-3x \cos x-5}{5x^3-3x^2 \sin(x)-3x-7}=\frac{1-3 \frac{\cos x}{x}-\frac{5}{x^2}}{5x-3 \frac{\sin(x)}{x}-\frac{3}{x^2}-\frac{7}{x^3}}[/tex]
et les termes en cos(x)/x et sin(x)/x tendent bien vers 0 (fonction bornée fois limite nulle).
Donc, la limite recherchée est nulle (par définition de la limite).
