On cherche une racine carrée de z, donc un complexe a tel que [tex]a^2=z.[/tex] (On sait qu'il y en a exactement 2, car z non nul.)
Notons [tex]a=x+\mathrm{i} y.[/tex] (avec x et y réels)
Alors, [tex]a^2=(x^2-y^2)+2\mathrm{i}xy=40-42\mathrm{i},[/tex]
donc [tex]x^2-y^2=40[/tex] et [tex]xy=-21[/tex] en identifiant parties réelles et imaginaires.
Mais on peut aussi s'intéresser au module : [tex]|a|^2=|z|[/tex] soit [tex]x^2+y^2=\sqrt{40^2+42^2}=58.[/tex]
On a donc le système :
[tex]\left \{ {{{x^2-y^2=40} \atop {x^2+y^2=58}} \atop {xy=-21}}} \right.[/tex]
Des équations (1) et (2), on tire [tex]2y^2=18[/tex] donc [tex]y=\pm 3[/tex], puis, avec (2), [tex]x=\mp 7[/tex].
Finalement, on obtient bien deux solutions (on sait qu'elles conviennent) :
[tex]\boxed{S=\{(-7+3\mathrm{i}),(7-3\mathrm{i})\}}[/tex]
