Réponse:
1.
cos(3x) = ½
3x = π/3 + k×2π ou 3x =-π/3+k×2π sur IR.
x = π/9+k×2π/3 ou x = -π/9 + k×2π/3 sur IR
En remplaçant k par -1, 0 puis 1 on trouve les solutions dans ]-π;π]
Sur ]-π;π] S ={-7π/9; -5π/9; -π/9; π/9; 5π/9; 7π/9}
2.
cos(3x) ≥ ½
-π/3+2kπ ≤ 3x ≤ π/3+2kπ
-π/9+2kπ/3 ≤ x ≤ π/9+2kπ/3 sur IR
sur ]-π;π] :
-7π/9≤ x ≤-5π/9 ou
-π/9 ≤x ≤π/9 ou
5π/9 ≤ x ≤7π/9
3.
2[cos(3x)]²+3cos(3x)-2=0
on pose X = cos(3x)
2X²+3X-2=0
∆=3²-4×2×(-2)
∆=25
∆>0 l'equation 2X²+3X-2=0 a 2 solutions
X1 = (-3-√25)/(2×2) = -2
X2= (-3+5)/4 = 1/2
cos(3x)= -2 n'a pas de solution
cos(3x) =½ a six solutions S ={-7π/9; -5π/9; -π/9; π/9; 5π/9; 7π/9} sur ]-π;π]
exercice 3
1.
P(1) = 2×1³-17×1²+7×1+8
P(1) = 0
1 est un racine du polynome P
P(x) = (x-1)(ax²+bx+c) avec a,b, c reels.
Développons :
P(x) = ax³+bx²+cx-ax²-bx-c
P(x)= ax³ + (b-a)x² + (c-b)x - c
Par comparaison des formes développées on en deduit
a = 2
b-a = -17
c-b = 7
-c = 8
d'où
a=2
b=-15
c = -8
P(x) = (x-1)(2x²-15x-8)
est une factorisation de P(x)
[ facultatif : on peut encore factoriser 2x²-15x-8
[ facultatif : on peut encore factoriser 2x²-15x-8∆=289
[ facultatif : on peut encore factoriser 2x²-15x-8∆=289x1 = -1/2
[ facultatif : on peut encore factoriser 2x²-15x-8∆=289x1 = -1/2x2=8
[ facultatif : on peut encore factoriser 2x²-15x-8∆=289x1 = -1/2x2=8P(x) = 2(x-1)(x+½)(x-8)
[ facultatif : on peut encore factoriser 2x²-15x-8∆=289x1 = -1/2x2=8P(x) = 2(x-1)(x+½)(x-8)ou plutôt
[ facultatif : on peut encore factoriser 2x²-15x-8∆=289x1 = -1/2x2=8P(x) = 2(x-1)(x+½)(x-8)ou plutôtP(x) = (x-1)(2x+1)(x-8) plus utile pour la suite]
2.
2sin³x-17sin²x+7sinx+8 =0
<=>
(sinx -1)(2sinx+1)(sinx-8) = 0
sinx-1=0
sinx = 1
x=π/2+2kπ
2sinx+1=0
sinx = -1/2
x=-π/6+2kπ ou x= -5π/6+2kπ
sinx-8=0
sinx = 8 n'a pas de solutions.
S = {-5π/6+2kπ; -π/6+2kπ; π/2+2kπ}
