1) Une distance est toujours positive, donc il faut que [tex]BC=7-x \ge 0[/tex] soit [tex]x \le 7[/tex].De même [tex]AB=x \ge 0[/tex], d'où [tex]\boxed{0 \le x \le 7}[/tex].
2) L'aire du triangle vaut [tex]x(7-x)=-x^2+7x[/tex].
C'est un polynôme de degré 2, dont la courbe représentative est concave (car le coefficient devant [tex]x^2[/tex] est <0), donc il admet un maximum, atteint en [tex]x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-7}{-2}=\frac{7}{2}[/tex].
L'aire maximale est celle obtenue pour x=7/2, soit [tex]\mathcap{A}_{max}=\frac{49}{4}[/tex].
3)a) Pour x=3, l'aire vaut [tex]-3^2+7 \times 3=12[/tex].
b) On raisonne graphiquement. La courbe représentative de f étant symétrique par rapport à la droite x=7/2, [tex]f(x) \ge 12[/tex] pour [tex]\boxed{x \in [3,4]}[/tex].
(En effet, [tex]\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}[/tex].)
