Réponse :
Bonjour/ bonsoir, désolé pour cette réponse tardive, j'espère qu'elle t'aidera au moins. Nul besoin de rappeler que pour calculer l'aire dun rectangle , l'on procède par la formule [tex]A = L \times l[/tex] où L est la longueur et l est la largeur.
Explications étape par étape
Pour notre exercice la longueur de la clôture est de 40m; ce qui représente la somme des distances des côtés AD, DC et CB. On note [tex]x= AD[/tex] et [tex]f(x)[/tex] l'aire du triangle ABCD.
1) Déterminons l'aire du rectangle si [tex]x=5[/tex]
Si x = 5, cela revient à dire que la largeur du rectangle est 5 et sa longueur est 30. Autrement dit, AD=CB=5 et DC = 40-(5x2) = 30.
Nous aurons le résultat suivant:
[tex]A = 30 \times 5 = 150\ m^2[/tex]
2) Valeurs possibles de [tex]x[/tex]
En considérant que dans le rectangle ABCD, [tex]x=AD=CB[/tex], il ne faut pas que la somme de leur distance dépasse la longueur de la clôture disponible, soit:
[tex]2x <40\\x< 20[/tex]
Alors, les valeurs de [tex]x[/tex] vont ainsi de 1 à 19.
3) Déterminons une expression de [tex]f(x)[/tex] en fonction de [tex]x[/tex]
Si [tex]x=AD=CB[/tex], alors cela implique que la longueur qui reste à attribuer au dernier côté de la clôture DC est [tex]40-2x[/tex]. Ce qui nous mène à:
[tex]f(x) = x(40-2x)[/tex]
4) Estimation de l'aire maximale
Indice: En prenant certaines valeurs de x, remplacer et effectuer le calcul.
Pour 5, nous avons trouvé 150, pour 6...pour 7...etc
5) a- Montrer que [tex]f(x) = -2(x-10)^2 +200[/tex]
Nous avons en question 3)
[tex]f(x) = x(40-2x)\\= -2x^2 +40[/tex]
En transformant en forme canonique, on obtient:
[tex]-2x^2+40\\=-2(x^2 -20x)\\=-2[(x-10)^2-100]\\=-2(x-10)^2+200[/tex]
b- Retrouver le résultat de la question 4. par calcul
Pour calculer le maximum d'une telle fonction, il suffit de trouver la valeur qui annule l'expression carrée [tex](x-10)^2[/tex] soit :
[tex](x-10)^2=0\\\Rightarrow x-10=0\\\Rightarrow x=10[/tex]
Ainsi, la valeur maximale de l'aire sera de 200 m².
Aller plus loin sur les équations..https://nosdevoirs.fr/devoir/2465749
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